งงมากครับข้อนี้ (สมการเชิงเส้น)

[MathTq]

ถ้า aและb เป็นค่าคงตัวที่ทำให้จุดระหว่างเส้นตรง ax = by +1 กับ ay+bx = 2 จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นนี้อยู่ในจตุภาคที่ 1 แล้วข้อใดผิด
1. a $\geqslant$ 0
2. b $\geqslant$ 0
3. 2a $\geqslant$ b
4. a+2b $\geqslant$ 0

งงจริงๆครับ วอนผู้รู้มาช่วยตอบทีครับ

[poper]

ตอบข้อ 2 รึเปล่าครับ

[MathTq]

ลองคิดดูแล้วนะครับข้อนี้

หาจุดตัดของเส้นตรง ได้ $(x,y) = ( \frac{2b+a}{a^2+b^2} ,\frac{2a-b}{a^2+b^2} )$
จุดตัดอยู่บนจตุภาคที่ 1
$ \therefore $ $x \geqslant 0 และ y \geqslant 0 $
นั้นคือ $ 2b+a \geqslant 0 $ และ $ 2a-b \geqslant 0 $ ข้อ 3 และ 4 ถูก

ถ้าให้
$ 2b+a \geqslant 0 $ ...... (1)
$ 2a-b \geqslant 0 $ ...... (2)

$(1)+(2)\times2$ ; $ 5a \geqslant 0 $
นั้นคือได้ $ a \geqslant 0 $
ถ้าในห้องสอบ ผมจะตอบข้อ 2 ทันที (ประหยัดเวลา)

ลองใหม่อีกครั้ง
$(1)\times2 -(2)$ ; $ 5b \geqslant 0 $
นั้นคือได้ $ b \geqslant 0 $ แล้วจะตอบ 1 หรือ 2 ดีครับ

[poper]

ผมลองคิดแล้วเหมือนกันครับ ได้เหมือนคุณ MathTq
เนื่องจากถ้า $a=0$ จะได้ $x=\frac{2}{b}\ \ ,y=-\frac{1}{b}$
ซึ่งไม่มีค่า $b$ ที่จะทำให้พิกัด $(x,y)$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 ได้เลย ข้อ 1 จึงไม่ใช่เพราะ $a=0$ ได้ด้วย
ค่าของ $b$ นั้นผมลองแบ่งกรณีดู จากที่ได้
$a+2b\geqslant 0$ และ $2a-b\geqslant 0$
1. $b\geqslant 0$ จากทั้งสองอสมการ ค่า $a$ ที่สอดคล้องคือ $2a\geqslant b$
2. $b<0$ ค่า $a$ ที่สอดคล้องคือ $a+2b\geqslant 0$
แสดงว่า $b<0$ ก็ได้ แต่จะสังเกตว่า ค่า $a$ จะเป็นบวกเสมอครับ

[IloveMathPK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathTq

ลองคิดดูแล้วนะครับข้อนี้

หาจุดตัดของเส้นตรง ได้ $(x,y) = ( \frac{2b+a}{a^2+b^2} ,\frac{2a-b}{a^2+b^2} )$

ตรงนี้คิดยังไงถึงได้แบบนี้อะครับ พอดีผมเพิ่งเคยเห็น

[MathTq]

ถ้าคิดแบบนี้ ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ
$(x,y)คือ( \frac{2b+a}{a^2+b^2} ,\frac{2a-b}{a^2+b^2} )$ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ 1
แสดงว่า $a+2b\geqslant 0 กับ 2a-b\geqslant 0$ต้องเป็นจริงทั้งสองกรณี
ถ้า a=0 ;
$a+2b\geqslant 0$ จะได้ $2b\geqslant 0$
$2a-b\geqslant 0$ จะได้ $-b\geqslant 0$ไม่มี b เป็นจำนวนจริงใดทำให้สองสมการนี้เป็นจริง
$\therefore$ a ต้องไม่เท่ากับ 0
ถ้า b=0 ;
$a+2b\geqslant 0$ จะได้$a\geqslant 0$
$2a-b\geqslant 0$ จะได้ $2a\geqslant 0$
มี a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง( a เป็น - ได้)

[MathTq]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ผมลองคิดแล้วเหมือนกันครับ ได้เหมือนคุณ MathTq
เนื่องจากถ้า $a=0$ จะได้ $x=\frac{2}{b}\ \ ,y=-\frac{1}{b}$
ซึ่งไม่มีค่า $b$ ที่จะทำให้พิกัด $(x,y)$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 ได้เลย ข้อ 1 จึงไม่ใช่เพราะ $a=0$ ได้ด้วย
ค่าของ $b$ นั้นผมลองแบ่งกรณีดู จากที่ได้
$a+2b\geqslant 0$ และ $2a-b\geqslant 0$
1. $b\geqslant 0$ จากทั้งสองอสมการ ค่า $a$ ที่สอดคล้องคือ $2a\geqslant b$
2. $b<0$ ค่า $a$ ที่สอดคล้องคือ $a+2b\geqslant 0$
แสดงว่า $b<0$ ก็ได้ แต่จะสังเกตว่า ค่า $a$ จะเป็นบวกเสมอครับ

a=0 ไม่ใช่ได้ x =2b ได้ y=-b หรอครับ $(x,y)=(a+2b,2a-b)$

[MathTq]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ IloveMathPK

ตรงนี้คิดยังไงถึงได้แบบนี้อะครับ พอดีผมเพิ่งเคยเห็น

$ax = by +1 $ ....(1)

$x=\frac{by+1}{a}$ ....(3)

$ay+bx = 2$ ....(2)

$x=\frac{2-ay}{b}$ ....(4)

(3)=(4) ; $\frac{by+1}{a}=\frac{2-ay}{b}$

$b^2 y+b = 2a-a^2 y$

$(a^2+b^2)y =2a-b$

$y = \frac{2a-b}{a^2 + b^2} $

หาค่า x ก็ จับ y สมการที่ 1,2 มาเท่ากันก็ได้ หรือจะนำ x ไปแทนในสมการ 1,2 ก็ได้

จะได้ $x = \frac{2b+a}{a^2 + b^2} $

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MathTq

a=0 ไม่ใช่ได้ x =2b ได้ y=-b หรอครับ $(x,y)=(a+2b,2a-b)$

ผมแทนลงในสมการอ่ะครับ แต่ก็ใช้ได้เหมือนกันครับ

[MathTq]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ผมแทนลงในสมการอ่ะครับ แต่ก็ใช้ได้เหมือนกันครับ

ผมงงเองครับ อันนี้ แต่ผมได้ a = 0 ไม่ได้อะครับ ผมเลยตอบข้อ 1

[MathTq]

อ๋อ ผมเข้าใจละครับ ขอบคุณคุณ poper นะครับ ผมเจอละครับ ผมคิดผิดเอง T-T

[poper]

สรุปแล้วตอบข้อไหนอ่ะครับ
ที่ผมตอบ 2 เพราะคิดว่า $b$ เป็นลบได้
แต่ก็ยังติดใจอยู่ว่า ข้อ 1 ก็น่าจะผิดด้วย เพราะ $a\not=0$ อ่ะครับ