Derivative

[Mastermander]

\[ \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n =0\]

\[ f(x)=x^{x^n} \]
$$ y=x^{x^n} $$
$$ \ln y =x^n\ln x $$
$$ \frac{d(\ln y)}{dx}=x^{n-1}+nx^{n-1}\ln x $$
$$ \frac{dy}{ydx}=x^{n-1}(1+n\ln x) $$
$$ f '(x)=y\big(x^{n-1}(1+n\ln x)\big) $$
$$ f '(x)=x^{ x^n+n-1}(1+n\ln x) $$
ขอบคุณทุกท่านที่ให้ความรู้ครับ

[M@gpie]

หาค่าได้ครับ คำตอบคือ 0

[passer-by]

ขออธิบายเพิ่มเติมนิดนึงครับ

การจะพิสูจน์ว่า
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n = 0 $

อาจทำได้ 2 แนวทางครับ

1. ใช้ squeezing theorem ที่มีใจความว่า

ถ้าลำดับ $ a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} $ และ $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty} c_{n}= L $
แล้ว $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=L $

(หรือพูดแบบบ้านๆว่า ถ้า ซ้ายกับขวา ลู่เข้าหาค่าเดียวกัน ก็จะบีบ (squeeze) ให้ตัวตรงกลางลู่เข้าหาค่านั้นด้วย)

เพราะ $ 5^{n} > n^{2} \quad \forall n $

ดังนั้น $ 0 < \frac{n}{5^{n}} < \frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n} $

By squeezing thoerem จะได้ $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{5})^n = 0 $ เพราะซ้ายกับขวาลู่เข้าสู่ 0

2. ใช้ Divergent theorem ก็ได้ครับ

ถ้า $ \displaystyle \sum_{n=1} ^{\infty}a_{n} $ ลู่เข้า
แล้ว $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = 0 $

[sompong2479]

ทำแบบนี้ได้มั้ยครับ

เมื่อ $n$ มากๆ $n^{1/n}\approx1$ ดังนั้น
$$
n(\frac{1}{5})^n=(n^{1/n}\frac{1}{5})^n\approx(\frac{1}{5})^n\to0
$$
ทำนองเดียวกันเปลี่ยนจาก 1/5 เป็น $|c|<1$ ใดๆก็ยังจริง

[Mastermander]

ขอบคุณทุกท่านครับ

ขอถามต่อว่า ถ้าจะหาค่าสูงสุดของฟังก์ชั่น
$$ F(x) = x \bigg (\frac{1}{5}\bigg )^x $$
หาได้อย่างไรครับ

[nongtum]

จาก $F'(x)=5^{-x}-x5^{-x}\ln 5$ ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเกิดขึ้นเมื่อ $F'(x)=0$ หรือ $x=1/\ln 5$ ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากครับว่าเป็นค่าสูงสุด

[Mastermander]

$$ \frac{d(x^x)}{dx} $$
และ
$$ \frac{d(x^{x^2})}{dx} $$คิดยังไงอะครับ

[M@gpie]

กำหนดให้ \( y= x^x \)

วิธีที่ 1 : จะได้ว่า \( y =x^x =e^{\ln x^x}=e^{x \ln x} \) แล้วก็ทำการหาอนุพันธ์ตามปกติจะได้ \( y' = e^{x \ln x}(1+\ln x) =x^x(1+\ln x) \)

วิธีที่ 2 : ใส่ ln เข้าทั้งสองข้างของฟังก์ชันจะได้ว่า \( \ln y= \ln (x^x) = xlnx \)
ทำการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ \( \frac{y'}{y} = 1+\ln x \rightarrow y'=y(1+\ln x)=x^x(1+\ln x) \)

ส่วนอีกฟังก์ชันก็ทำได้ในวิธีเดียวกันนี้คับ

[nongtum]

จะลองทำให้ดูสักข้อนะครับ อีกข้อทำไม่ต่างกันมาก

ให้ $y=x^x$ ดังนั้น $\ln y=x\ln x$
หาอนุพันธ์จะได้ $\frac{d(\ln y)}{dx}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\ln x$ นั่นคือ $\frac{dy}{dx}=y(1+\ln x)=x^x(1+\ln x)$

[Mastermander]

$$ y=x^{x^2} $$
$$ \ln y = x^2\ln x $$
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}= x + 2x\ln x $$
$$ \frac{dy}{dx}= y(x+2x\ln x) $$
$$ \frac{dy}{dx}=x^{x^2}(x+2x\ln x) $$
$$ \frac{d(x^{x^2})}{dx}= x^{x^2+1}(1+2\ln x) $$

ถูกไหมครับ

[warut]

ถูกแล้วล่ะครับ