สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2555

[~ArT_Ty~]

วันนี้สอบกลับมาเป็นไงกันบ้างครับ

มาแชร์คำตอบกับความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อสอบปีนี้กันหน่อยฮะ

ใครมีโจทย์ช่วยเอามาลงให้หน่อยได้มั้ยครับ

คือว่าของผมทดจนเละไปแล้ว TT

-----------------
ดาวน์โหลด ข้อสอบสมาคม ม.ปลาย 2555

[polsk133]

อะไรมันจะยากขนาดนี้ ม.ปลาย

[gnap]

ได้ยินข่าวว่าออกให้ตัวแทนประเทศทำ-..-

[tonklaZolo]

#เค้าบอกห้ามคัดลอก งั้นเขียนเรียงข้อเลยละกัน
1. ถ้าจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{7}=1$ เป็นจุดเดียวกันกับจุดโฟกัสทั้งสองของไฮเปอร์โบลา $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ แล้ว $a^2$ มีค่าเท่าใด
2. กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเหตุการณ์โดยที่ $P(A^c)=\frac{5}{6}$ และ $P(A^c\cap B^c)=\frac{1}{2}$ แล้ว $P(A-B)$ มีค่าเท่าใด
3. ถ้า $a_1,a_2,a_3,...$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงโดยที่ $a_1\not= 0$ และ $a_{32}=4a_{20}$ แล้ว $a_{10}+a_{25}+2a_{40}$ มีค่าเท่ากับ $a_m$ แล้ว $m$ มีค่าเท่าใด
4. กำหนดให้ $\overrightarrow{A}=\bmatrix{a \\ b} $ และ $\overrightarrow{B}=\bmatrix{1 \\ \sqrt{3}} $ โดยที่ $b\not= 0$ และ $\overrightarrow{A}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้ามุมระหว่าง $\overrightarrow{A}$ กับ $\overrightarrow{B}$ เท่ากับ $60^o$ แล้ว $a$ มีค่าเท่าใด
5. ถ้า $f(x)$ เป็นปฏิกิริยานุพันธ์ของ $\sqrt{x^3+1+2x\sqrt{x}}$ $\,$ แล้ว $f(1)-f(0)$ มีค่าเท่าใด
6. ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการ $3^{2x+1}+2^{x+1}=6^x+2(3^{x+1})$ โดยที่ $a\not= b$ $\,$ แล้ว $\left(\,\frac{3}{2}\right)^{ab} \,$ มีค่าเท่าใด

ช่วยลงต่อกันด้วยนะคร๊าบ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อ 25 ได้เท่าไรกันครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

16. ให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด ถ้า $f:I\rightarrow I$ โดยที่ $f(x+f(y))=x+y-4$ ทุกจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ แล้ว $f(10)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
20. ถ้า $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $(4^{2x}+2)(4^{2y}+4)(4^{2z}+8)=4^{x+y+z+3}$ แล้ว $4^{2x+3y+4z}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

มีโจทย์แนวโอลิมปิกเพิ่มเข้ามามากก็ไม่ดีนะครับ ใช่ว่าผู้เข้าสอบทุกคนจะมีความรู้พวกนี้

16. $f(x)=x-2$
แทน $y=0$ และแทน $x$ ด้วย $x-f(0)$
หา $f(0)$ ได้ก็จบ

20. AM-GM ทีละก้อนจะได้ $x=\dfrac{1}{4},y=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{3}{4}$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 25 Hint : $1+\cos x = 2\cos ^2 x,\sin 2x=2\sin x\cos x$

[Persister]

ข้อ 12 เลือกตอบได้เป็น 0,1,2 และ 3 เพื่อนๆ พี่ๆ น้องๆ ตอบอะไรกันบ้าง

[Keng_Math]

ข้อ12 ตอบ0ป่ะครับ ใช้พวกlogลองแทนๆดู
ข้อ15 คิดยังไงครับ?

[Thgx0312555]

ข้อ 25 ใช้ de mouivre // $cis(-\theta)=\dfrac{1}{cis\theta}$ ก็ได้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

25. จงหาค่าของ $\left(\dfrac{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}\right)^{2555}$ โดยที่ $i$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $i^2=-1$

ให้ $z=\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)$

จะได้ $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ และ $z^{2555}=-1$

$\left(\dfrac{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)+i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}{1+\sin\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)-i\cos\left(\dfrac{\pi}{2555}\right)}\right)^{2555}=\left(\dfrac{1+i\overline{z}}{1-iz}\right)^{2555}$

$~\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\left(\dfrac{i}{z}\right)^{2555}$

$~\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=i$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

12. กำหนดให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวกใดๆ และ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวกใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) $r^s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวก
(2) $r^x$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(3) $y^s$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(4) $x^y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
จำนวนข้อความที่เป็นจริงจากข้อความทั้ง 4 ข้อความข้างต้นตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. เท็จ เช่น $r=s=\dfrac{1}{2}$

2. เท็จ เช่น $r=1,x=\sqrt{2}$

3. เท็จ เช่น $y=\sqrt{2},s=2$

4. เท็จ เช่น $x=\sqrt{2},y=2\log_2 3$

[Keehlzver]

ขอบคุณมากเลยครับ 35 ข้อ จำกันออกมาได้หมด

[passer-by]

ปีนี้ผมเห็นว่า ไม่ยากมาก แต่ภาพรวมมันทดเลขไม่ค่อยลื่นเท่าไหร่ครับ

ผมคิดว่า ถึงเป็นตัวแทน IMO ก็คงไม่ชอบสไตล์นี้
----------------------------------------------------------------------------
ผมสนใจข้อ 21 ที่หา locus ของจุด

Focus อยู่ที่ $ (0,\frac{1}{16})$ ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านโฟกัส คือ $ y- \frac{1}{16} = mx $

ดังนั้น จุดตัดเส้นตรงกับพาราโบลา สอดคล้องกับ $ 4x^2 - mx - \frac{1}{16} = 0 $ ซึ่งทุกจำนวนจริง m จะมีจำนวนจริง x 2 จำนวนต่างกันมารองรับเสมอ ,say, $ x_1 ,x_2 $

เท่ากับว่า พิกัด midpoint คอร์ด คือ $ (\frac{x_1+x_2}{2} , 2(x_1^2 +x_2^2)) = (\frac{m}{8} , \frac{2m^2+1}{16}) $

(สมการครึ่งหลัง ใช้สูตรผลบวก ผลคูณรากสมการกำลังสอง)

ดังนั้น locus ของ midpoint กำกับด้วยสมการ $ y = 8x^2 +\frac{1}{16}$

-------------------------------------------------------------------------------------

ส่วนอีกข้อที่ผมสนใจ คือ ข้อ 33 ครับ (แต่ผมขอใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ)

Take $ x_n = 3 \sin\theta_n$ โดย $\theta_n$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 (รวม 0 กับ 90 องศาด้วย)

เงื่อนไขโจทย์ จึงเทียบเท่ากับ $ \frac{\sin \theta_n}{\cos (\theta_{n+1}/2) +\sin (\theta_{n+1}/2) } \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin (\theta_n) \geq \sin(\theta_{n+1}/2 +\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta_{n+1} \leq 2\theta_n - \frac{\pi}{2}$

อสมการสุดท้าย implies 2 อย่างคือ $ \theta_n$ เป็นลำดับไม่เพิ่ม (เพราะมุมจำกัดในจตุภาคที่ 1 )

และ ทุกมุมต้องมีค่าอย่างน้อย $ \frac{\pi}{4}$ ด้วย

Now ลำดับ $\theta_n $ bounded และ nonincreasing แสดงว่ามี limit ,say ,L และ $ L \leq 2L - \frac{\pi}{2}$

จากอสมการและ by nonincreasing แสดงว่า ลำดับนี้ เป็น constant sequence ลู่เข้าหา $ L= \frac{\pi}{2}$

และทำให้ $x_n =3 $

[TU Gifted Math#10]

สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์
ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ ประจำปีการศึกษา $2555$ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
สอบวันอาทิตย์ที่ $25$ พฤศจิกายน $2555$ เวลา $9:00-12:00$ น.[/b]
ตอนที่ 1
1. ถ้าจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{7}=1$ เป็นจุดเดียวกันกับจุดโฟกัสทั้งสองของไฮเพอร์โบลา $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ แล้ว $a^2$ มีค่าตรงกับข้อใด
2. กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเหตุการณ์โดยที่ $P(A^c)=\frac{5}{6}$ และ $P(A^c\cap B^c)=\frac{1}{2}$ แล้ว $P(B-A)$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
3. ถ้า $a_1,a_2,a_3,...$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงโดยที่ $a_1\not= 0$ และ $a_{32}=4a_{20}$ แล้ว $a_10+a_{25}+2a_{40}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
4. กำหนดให้ $ \vec{A}=\bmatrix{a \\ b} $ และ $\vec{B}=\bmatrix{1 \\ \sqrt{3}}$ โดยที่ $b\not= 0$ และ $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้ามุมระหว่าง $\vec{A}$ กับ $\vec{B}$ เท่ากับ $60^{\circ}$ แล้ว $a$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
5. ถ้า $f(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $\sqrt{x^3+1+2x\sqrt{X}}$ แล้ว $f(1)-f(0)$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
6. ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการ $3^{2x+1}+2^{x+1}=6^x+2(3^{x+1})$ โดยที่ $a\not= b$ แล้ว $(\frac{3}{2})^{ab}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
7. ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $2\times 2$ ซึ่ง $A^2=2(A+I_2)$ โดยที่ $I_2$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $2\times 2$ แล้ว $\mid det(A-I_2)\mid$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
8. กำหนดให้ $f(x)=x-\sqrt{x^2-1}$ และ $g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) โดเมนของ $f$ $=$ โดเมนของ $g$
(2) $f=g$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
9. เด็กนักเรียนมัธยมปลายห้องหนึ่งมีจำนวนทั้งสิ้น $a+b$ คน ประกอบด้วยเด็กนักเรียนชาย $a$ คน และเด็กนักเรียนหญิง $b$ คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนมา $2$ คน จากนักเรียนทั้ง $a+b$ คนเหล่านี้ ปรากฏว่า ความน่าจะเป็นที่เด็กนักเรียนที่เลือกมา $2$ คนนี้เป็นเพศเดียวกันมีค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ จงพิจารณาว่า $a^2+b^2-2ab$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
10. ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง$[0,\frac{\pi}{2}]$ และ สอดคล้องกับสมการ $arcsin(cos x)+arccos(sin x)=1$ แล้ว $x$ เป็นสมาชิกของช่วงใดต่อไปนี้
11. กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $q\not= 0$ ซึ่งทำให้สมการ $z^2+pz+q=0$ มีรากที่ต่างกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2$ ถ้า $\mid z_1 \mid =1=\mid z_2 \mid$ แล้ว ส่วนจริงของ $z_1\overline{z_2}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
12. กำหนดให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวกใดๆ และ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวกใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) $r^s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวก
(2) $r^x$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(3) $y^s$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(4) $x^y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
จำนวนข้อความที่เป็นจริงจากข้อความทั้ง 4 ข้อความข้างต้นตรงกับข้อใดต่อไปนี้
13. สำหรับ $X$ และ $Y$ ที่เป็นเมทริกซ์ขนาน $3\times 3$ ใดๆ นิยาม$[X,Y]=XY-YX$ ให้ $A,B,C$ และ $D$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) $det([A,B])=-det([B,A])$
(2) $[A+C,B+D]=[A,B]+[C,D]$
(3) $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]=-[C,[A,B]]$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
14. กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริง และให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$
(2) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to
0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
15. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ โดยที่ $cos^2 A+cos^2 B \geq sin^2 C$ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง