ความน่าจะเป็นครับ

[PhyMath]

กำหนด A={1,2,3,4,...,100} สุ่มสมาชิกของA มา3ตัว จงหาความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

[กิตติ]

ให้ตัวเลขทั้งสามเรียงจากน้อยไปมากคือ $a,b,c$
จะได้ว่า $c-b=b-a$
$b=\frac{a+c}{2} $
ดังนั้น ผลบวกของ $a+c$ ต้องเป็นเลขคู่
$a,c$ เป็นเลขคี่ทั้งสองค่า กับ$a,c$ เป็นเลขคู่ทั้งสองค่า
งานที่ต้องทำคือหยิบเลขคี่มาสองจำนวน กับหยิบเลขคู่มาสองจำนวน โดยจำนวนที่อยู่ตรงกลางจะเป็นไปตามเลขสองตัวที่หยิบมา
หยิบเลข 3 จำนวนนี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตมีจำนวนวิธีเท่ากับ $\binom{50}{2}+\binom{50}{2}=2\binom{50}{2} $
sample spaceของการหยิบเลขสามตัวเท่ากับ $\binom{100}{3} $
ความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เท่ากับ $\frac{2\binom{50}{2}}{\binom{100}{3}} $
$=\frac{2\times 50\times 49}{100\times 99\times 98}=\frac{1}{198} $
คิดเลขผิดตามที่พี่เล็กท้วง
แก้เป็น $=\frac{2\times \frac{50\times 49}{2} }{\frac{100\times 99\times 98}{3\times 2} }=\frac{50\times 49}{50\times 33\times 98} $
$=\frac{1}{66} $

[Aquila]

- คุณกิตติลืมคูณ 2 หรือเปล่า

เพราะว่าใน $C(50,2)$ มันนับ $1,3$ กับ $3,1$ เป็นวิธีเดียว

แต่ว่าสำหรับลำดับเลขคณิต $(1,2,3)$ กับ $(3,2,1)$ เป็นคนละวิธี

- ส่วนวิธีคุณแฟร์ผมไม่รู้เรื่องเลยครับ 49 มาจากไหนก็ไม่บอก

[กิตติ]

ผมว่าไม่น่าจะคูณสองครับ เพราะเวลาหยิบมาเราสุ่มหยิบมาสามตัวเลข ขอให้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตก็พอ ไม่สนว่ามันเรียงกันด้วยระยะห่างเท่าไหร่ อย่างหยิบมาได้ $2,7,12$ ไม่ว่าจะเรียงเป็น $2,7,12$ หรือ $12,7,2$ ก็ถือว่าเป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน ถือว่าเกิดจากการหยิบครั้งนี้ได้ตัวเลขสามตัวที่เอามาเรียงกันเป็นลำดับคณิตได้

[Aquila]

ขอบคุณครับ นี่เป็นครั้งแรกในชีวิตของผมเลยครับ

ที่ความรู้ใช้แก้โจทย์ความน่าจะเป็น กับ ความรู้แก้โจทย์การนับ เป็นคนละส่วนกัน

เพราะฉะนั้น โจทย์สองข้อนี้น่าจะต่างกันสิ้นเชิงสินะครับ

กำหนด A={1,2,3,4,...,100} สุ่มสมาชิกของA มา3ตัว จงหาความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

กำหนด A={1,2,3,4,...,100} จงหาจำนวนวิธีสร้างลำดับเลขคณิต 3 พจน์จาก A

[lek2554]

โจทย์ควรพูดว่าสุ่มสมาชิกของ A ที่แตกต่างกันมา 3 ตัว เพื่อความรัดกุมครับ ไม่อย่างนั้นอาจหยิบ 3 ตัวซ้ำกันได้ครับ

$\{1,2,3\}=\{1,1,1,2,2,2,3,3,3\}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$\frac{2\binom{50}{2}}{\binom{100}{3}} $
$=\frac{2\times 50\times 49}{100\times 99\times 98}=\frac{1}{198} $

คิดเลขผิดครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ส่วนวิธีคุณแฟร์ผมไม่รู้เรื่องเลยครับ 49 มาจากไหนก็ไม่บอก

นั่งไล่นอนไล่เอาครับ

d=1; 1 2 3/2 3 4/3 4 5/............../98 99 100

d=2; 1 3 5/2 4 6/3 5 7/..............96 98 100

.............................
.............................

d=49; 1 50 99/2 51 100

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมว่าไม่น่าจะคูณสองครับ เพราะเวลาหยิบมาเราสุ่มหยิบมาสามตัวเลข ขอให้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตก็พอ ไม่สนว่ามันเรียงกันด้วยระยะห่างเท่าไหร่ อย่างหยิบมาได้ $2,7,12$ ไม่ว่าจะเรียงเป็น $2,7,12$ หรือ $12,7,2$ ก็ถือว่าเป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน ถือว่าเกิดจากการหยิบครั้งนี้ได้ตัวเลขสามตัวที่เอามาเรียงกันเป็นลำดับคณิตได้

$2,7,12$ หรือ $12,7,2$ เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน แต่คนละชุดครับ เพราะ มีผลต่างร่วมคนละจำนวน

คำว่า ลำดับ แสดงให้เห็นถึงว่าลำดับก่อนหลังมีผลต่อการพิจารณาครับ

[กิตติ]

ขอบคุณพี่เล็กกับซือแป๋ครับ อย่างนั้นคำตอบจะเป็น $\frac{1}{33}$ อย่างนั้นใช่ไหมครับ

[lek2554]

คูณด้วย 2 ก็ต้องคูณทั้ง n(E) และ n(S) ครับ คำตอบยังเป็น $\frac{1}{66}$ เท่าเดิม $\Rightarrow$ข้อความนี้ขอแก้ไขไม่ใช้ครับ

ท่านซือแป๋คงเพียงต้องการเตือนให้คุณหมอคิดให้รอบคอบครับ

ถ้าโจทย์ข้อนี้กำหนดว่าใช้หมายเลขซ้ำกันได้

คุณหมอคิดว่า คูณด้วย 2 กับไม่คูณ คำตอบจะเท่ากันหรือไม่ครับ

[กิตติ]

ไม่รู้ว่า ผมจะเข้าใจถูกไหม ตอนแรกที่ผมคิด ผมตีโจทย์ข้อนี้ว่าคือ sample space คือการสุ่มหยิบเลขสามจำนวนจากชุดเลขที่กำหนดให้ โดยไม่ได้เอามาเรียงกัน หยิบขึ้นมาเฉยๆ และevent คือ เลขทั้งสามตัวนั้น มีจำนวนหนึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนอีกสองตัวที่เหลือ ซึ่งจะต่างจากการเรียงจากมากไปน้อยกับน้อยไปมาก คือผมไม่ได้เรียงตั้งแต่แรก เลยไม่สนใจว่ามันจะเรียงกันยังไง ขอแค่มีจำนวนหนึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนอีกสองตัวที่เหลือ และในsample space ผมก็ไม่ได้สนใจจะเรียงตัวเลขที่หยิบมาด้วย ผิดถูกยังไงช่วยชี้ให้ผมเห็นด้วยครับ ผมอาจจะตีความผิดก็ได้ครับ

กลับมาอ่านโจทย์ใหม่แล้ว "ความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต" ผมคงตีความผิดว่าไม่ต้องเรียง จริงๆต้องเรียงครับ และเป็นความบังเอิญที่การเรียงมันเป็นได้สองอย่างคือ จากมากไปน้อย และจากน้อยไปมาก ดังนั้นลำดับตัวเลขมีผลต่อทั้งSample spaceกับEvent โชคดีที่บังเอิญคำตอบถูก

ถ้าโจทย์ข้อนี้ใช้หมายเลขซ้ำกันได้ ผมคงคิดเหมือนหยิบตัวเลขสองครั้ง แต่ละครั้งใช้เลขซ้ำกันได้ซึ่งต้องคูณด้วยสอง เพราะการหยิบแต่ละครั้งมีความหมายต่างกัน เราให้ค่าให้ความสำคัญกับการหยิบแต่ละครั้ง ดังนั้นที่พี่เล็กถาม ผมตอบว่าคำตอบต่างกันครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

คูณด้วย 2 ก็ต้องคูณทั้ง n(E) และ n(S) ครับ คำตอบยังเป็น $\frac{1}{66}$ เท่าเดิม

ผมลืมไป ขอโทษทีครับ

ถ้าคูณ n(E) ด้วย 2 ต้องคูณ n(S) ด้วย 3! ครับ ดังนั้นคำตอบไม่เท่าเดิมครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ไม่รู้ว่า ผมจะเข้าใจถูกไหม ตอนแรกที่ผมคิด ผมตีโจทย์ข้อนี้ว่าคือ sample space คือการสุ่มหยิบเลขสามจำนวนจากชุดเลขที่กำหนดให้ โดยไม่ได้เอามาเรียงกัน หยิบขึ้นมาเฉยๆ

ผมก็เข้าใจแบบนี้ครับ

ความจริงโจทย์ข้อนี้ควรใช้คำพูดให้ชัดเจนว่า (เหมือนข้อสอบที่ผมแนบไฟล์ไว้)

จงหาความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้ สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

ก็จะตอบตามที่คุณหมอ หรือคุณแฟร์แสดงไว้ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ผมลืมไป ขอโทษทีครับ

ถ้าคูณ n(E) ด้วย 2 ต้องคูณ n(S) ด้วย 3! ครับ ดังนั้นคำตอบไม่เท่าเดิมครับ



ผมก็เข้าใจแบบนี้ครับ

ความจริงโจทย์ข้อนี้ควรใช้คำพูดให้ชัดเจนว่า (เหมือนข้อสอบที่ผมแนบไฟล์ไว้)

จงหาความน่าจะเป็นที่ 3 จำนวนนี้ สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

ก็จะตอบตามที่คุณหมอ หรือคุณแฟร์แสดงไว้ครับ

หมายถึงข้อสอบ PAT1 มีค 55 ใช่มั้ยครับ ถ้าใช่ ผมคิดว่าความชัดเจนเพื่อให้ได้คำตอบไม่ได้อยู่ที สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต หรือในตัวข้อสอบที่ท่านเล็กหมายถึง a<b<c

[lek2554]

ในตัวข้อสอบ ผมก็ไม่ได้หมายถึง $a<b<c$ ครับ

ที่ผมพูดหมายถึง ความชัดเจนหรือความรัดกุมของผู้ออกข้อสอบ PAT1 มี.ค. 55 อยู่ตรงที่ สุ่มหาสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว ครับ

ทำให้เกิดความชัดเจนว่า การหา n(S) จำนวน 3 จำนวนที่เลือกมาต้องต่างกัน และไม่คิดลำดับ เพราะลำดับในเซตไม่มีความหมาย

และตอนหา n(E) ผู้ออกข้อสอบ ยังบังคับว่า $a<b<c$ เป็นการย้ำว่าการหา n(E) จะต้องไม่คิดลำดับนะ เพื่อให้สอดคล้องกับการทดลองสุ่มที่ว่าไว้

แทนที่จะใช้คำพูดว่า สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตได้

ไม่รู้ว่าผมใช้คำพูดนี้ผิดหรือไม่ครับ "สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตได้"

เพราะผมมีโจทย์อยู่ข้อหนึ่งที่ใช้สอนนักเรียน คล้าย ๆ กัน ครับ

ในการทอดลูกเต๋า 3 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่แต้มของลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตได้

ข้อนี้ตอนหา n(E) เหตุการณ์ที่แต้มขึ้น (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1,), (3,1,2), (3,2,1) ผมถือว่าใช้ได้ทุกเหตุการณ์
..............................................................................................................................

ส่วน A={1,2,3,4,5,6} สุ่มเลือกตัวเลขที่แตกต่างกัน 3 ตัว จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนทั้ง 3 สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตได้

แบบนี้ เหตุการณ์ (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1,), (3,1,2), (3,2,1) ผมถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน เพราะตอนหา n(S) เราใช้ $C_{6,3}$
...............................................................................................................................

ส่วน A={1,2,3,4,5,6} สุ่มเลือกตัวเลขที่แตกต่างกัน 3 ตัว แล้วนำไปเรียงกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนทั้ง 3 สามารถนำมาเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตได้

แบบนี้ เหตุการณ์ (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1,), (3,1,2), (3,2,1) ผมถือว่าใช้ได้แค่ (1,2,3) กับ (3,2,1) เพราะตอนหา n(S) เราใช้ $C_{6,3}\times 3!$