โจทย์ทฤษฏีบทเศษเหลือ

[poper]

1. $P(x)=x^{2550}-x^{2549}+x^{2548}-...-x+1$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษเท่าไร
2. $P(x)=1-x+2x^2-3x^3+4x^4-...+2550x^{2550}$ หารด้วย $x^2-x$ เหลือเศษเท่าไร
3. $P(x)=1-x-x^3-x^5-x^7-...-x^{2001}$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษเท่าไร

คำตอบ

1. $-1275x+1276$
2.$1275x+1$
3.$-1001x+1$

เป็นโจทย์ที่คิดเองครับ อยากให้ลองทำกันดูครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

มาลองดูครับคุณpoper
1. จากทฤษฎีเศษเหลือให้ตัวหาร $x^2-1=0$ หรือ $x^2=1$
แสดงว่าเมื่อมีเทอม $x^2$ในพหุนามจะแทนด้วย 1 ได้
$x^2=x^4=x^6=...=x^{2550}=1$
ทำนองเดียวกัน
$x^3=x^5=x^7=...=x^{2549}=x$
ดังนั้น เศษ$=1-x+1-x+...+1-x+1$(มี 1 อยู่1276 ตัว และมี xอยู่1275ตัว)
เศษ=$1276-1275x$
ถ้าผิดอย่าว่ากันนะครับ ดึกแล้วอาจเบลอๆครับ

[poper]

ดีใจจังครับ ที่คุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย ได้หวนกลับสู่ยุทธภพอีกครั้ง
(ข้อแรกถูกแล้วครับผม)

[Keehlzver]

วิธีของอั๊ว

$p(x)$ ถูกหารด้วย $x^2-x$ สมมติให้เศษเป็น $r(x)$
เพราะฉะนั้น $p(x)=(x^2-x)h(x)+r(x)$ โดยที่ดีกรีของ r(x) น้อยกว่า 2
ถ้าให้ $x^2=x$ เราจะได้ทันทีว่า $p(x)=r(x)$ จากการแทนค่า $x^2=x$ ใน $p(x)$
ทำให้พหุนามใหม่ $p(x)$ ที่ได้คือเศษ $r(x)$ ที่โจทย์ต้องการ

ข้อสองพิสูจน์ว่า $x^{n}=x^{n-1}=...=x$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
ข้อสามพิสูจน์ว่า $x^{i}=x^{j}=x$ ทุกจำนวนเต็มคี่ $i,j$

แทนลงไปก็จะได้เศษมาแบบที่เฉลยเอาไว้ในคำตอบครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

3. $P(x)=1-x-x^3-x^5-x^7-...-x^{2001}$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษเท่าไร

ลอกความคิดข้างบน

$x^2 -1 =0 \ \to \ x^2 =1$


$x^3 = x \cdot x^2 = x$

$x^5 = x \cdot (x^2)^2 = x$

$x^7 = x \cdot (x^2)^3 = x$
.
.
.
$x^{2001} = x \cdot (x^2)^{1000} = x$

$1-x-x^3-x^5-x^7-...-x^{2001} = 1 - (x จำนวน 1,001 พจน์)$

$= 1 -1001x$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ลอกคุณอาbankerอีกทีครับ
ข้อ2.
$x^2 -x =0 \ \to \ x^2 =x$
$x^3=x^2(x) \ \to \ x^3 =x$
สรุปว่า$x^2=x^3=x^4=...=x^{2550}=x$
เศษ$=1-x+2x-3x+4x-5x+...-2549x+2550x=1+1275x$

[poper]

โอ้...ขอบคุณทุกท่านมากครับ
ได้อะไรเยอะเลยครับ อย่างข้อ 2 กับ 3 ไม่คิดเลยว่ามันจะเท่ากับ $x$ หมดทุกตัว

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

1. $P(x)=x^{2550}-x^{2549}+x^{2548}-...-x+1$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษเท่าไร
2. $P(x)=1-x+2x^2-3x^3+4x^4-...+2550x^{2550}$ หารด้วย $x^2-x$ เหลือเศษเท่าไร
3. $P(x)=1-x-x^3-x^5-x^7-...-x^{2001}$ หารด้วย $x^2-1$ เหลือเศษเท่าไร

คำตอบ

1. $-1275x+1276$
2.$1275x+1$
3.$-1001x+1$

เป็นโจทย์ที่คิดเองครับ อยากให้ลองทำกันดูครับ

ทั้ง 3 ข้อ ผมทำแบบเดียวกัน

1. $P(x)=x^{2550}-x^{2549}+x^{2548}-...-x+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b$

$P(1)=1=a+b$

$P(-1)=2551=-a+b$

$a=-1275 , b=1276$

เศษเหลือคือ $-1275x+1276$

[Keehlzver]

ขออณุญาตแถมให้ครับ ใช้แนวคิดแนวเดียวกัน

จงหาเศษที่ได้จากการหาร $x^{2554}+x^{2553}+1$ ด้วย $x^2+x-1$

[lek2554]

โจทย์แบบนี้เพิ่งเล่นไปเร็ว ๆ นี้ แต่วิธีที่แสดงมาข้างบน ท่าน nooonuii บอกว่ามีข้อจำกัดครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะพหุนามที่ไม่มีรากซ้ำนะครับ ถ้ามีรากซ้ำด้วยจะยุ่งอีกเยอะเลย

ผมมีวิธีพิสูจน์อยู่ว่าทำไมถึงมองแบบนี้ได้ แต่ยังไม่มีเวลาเรียบเรียงครับ

จากหัวข้อนี้ครับ