จำนวนเชิงซ้อน

[Oriel]

กำหนดให้ $z_1,z_2,...,z_6$ เป็นรากที่ $7$ ของ $1$ ซึ่งมีค่าแตกต่างกัน และ ต่างมีค่าไม่เท่ากับ $1$
จงหาค่าของ $(1-z_1)(1-z_2)...(1-z_6)$
แนะแนวทางหน่อยครับ ใช้สมบัติอะไร Binomial Theorem?

[Amankris]

ลองดูพหุนาม $x^7-1$ ครับ

[cardinopolynomial]

ไม่เเน่ใจว่าตอบ 6 รึเปล่าครับ

[Oriel]

แยกตัวประกอบจนได้ $x(x+1)(x^4+x^2+1)+1=0$ ไปถูกทางรึปล่าวครับ
แล้ว $z_1,z_2,...,z_6$ มันอยู่ตรงไหนครับ?

[Amankris]

#4
ลองคิดดูนะครับว่า $z_1$ เกี่ยวข้องกับหุนาม $x^7-1$ อย่างไร

[-InnoXenT-]

ลองคิดแบบที่คุณ Amankris บอกก่อนนะครับ แล้วค่อยกดดูข้างล่าง

Solution

$(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = (x-1)(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)(x-z_6)$

เรารู้ว่า $ x\neq 1$

ดังนั้น $(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)(x-z_6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

แทนค่า $x = 1$ เข้าไป ก็จะได้คำตอบครับ ตอบ 7

[cardinopolynomial]

ตอบ 7 ไม่ใช่หรอครับ

[-InnoXenT-]

อ้อ ผมบวกเลขผิดครับ ขอบคุณครับ

[tlepcctrg]

ข้อนึงใน 7 วิชาสามัญป่าวคับ ตั้ง 1-x^7 = 0 แล้วเราก็แยกตปก.ออกมาได้(1-x)(x^6+x^5+X^4+x^3+x^2+X^1+1)=0 แล้วเค้าบอกว่า มันเป็นเชิงซ้อน ก็แสดงว่า x ไม่เท่ากับ 1 แล้วแทน 1 ไป ใน (x^6+x^5+X^4+x^3+x^2+X^1+1) ก็จะได้ 7 แต่ว่าหากคิดวิธีนี้ไม่ออก ก็ลองใช้วิธีถอดรากเชิงซ้อน ก็ได้นะเอ้า ลองดู แล้วจับมุมมาตัดกัน จะออกมาอลังมาก