ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมปลาย 2552

[nooonuii]

$a\cdot 3^{x}+3^{-x}=3$

ข้อนี้ผมคิดตื้นไปครับ

ถ้า $a=0$ สมการมีคำตอบเดียว

สมมติ $a\neq 0$

แก้สมการจะได้

$3^x=\dfrac{3\pm \sqrt{3^2-4a}}{2a}$

ถ้าอยากให้สมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวเราต้องบังคับให้

หนึ่งในคำตอบมีค่าติดลบครับ

[MiNd169]

ข้อ16
หา $a_n$ ยังไงครับ ขอบคุณครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

ข้อ16
หา $a_n$ ยังไงครับ ขอบคุณครับ

$2^{100} = x$

$100 log2 = logx$

$100(0.301) = log x $

$30.1 = log x$

$10^{30.1} = x $

รากที่สิบ ของ สิบ เป็นเลข 1

$a_n = 1$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ข้อ 39 มีวิธีง่ายๆอีกแบบครับ โดยใช้ fact ด้านล่าง

"ถ้า $ (x+1)^m $ เป็นตัวประกอบของพหุนาม f(x) แล้ว $ (x+1)^{m-1} $ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $ f'(x) $"

สำหรับข้อนี้ ใช้ fact ข้างต้น และใช้ ทฤษฎีเศษเหลือ 2 ครั้ง ก็พอครับ

มันจำเป็นต้องเป็น x+1 อย่างเดียวไหมครับ

[กิตติ]

ลองอ่านโจทย์ข้อนี้ดู...น่าจะเคยผ่านตามาแล้ว
$x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ เหลือเศษเท่าใด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มาทำต่อจนได้คำตอบดีกว่า

$x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow a+b+c+d=3$........(1)

$50x^{49}+30x^{29}=$ $4Q(x)(x-1)^3+Q'(x)(x-1)^4$$+3ax^2+2bx+c \Rightarrow 3a+2b+c=80$........(2)

$49\times 50x^{48}+29\times 30x^{28}=$ $12Q(x)(x-1)^2+4Q'(x)(x-1)^3+Q''(x)(x-1)^4+4Q'(x)(x-1)^3$ $+6ax+2b$

$\Rightarrow 6a+2b=49\times 50+29\times 30$..........(3)

$48\times 49\times 50x^{47}+28\times 29\times 30x^{27}= $
$12Q'(x)(x-1)^2+24Q(x)(x-1)+12Q'(x)(x-1)^2+4Q''(x)(x-1)^3+12Q'(x)(x-1)^2+4Q''(x)(x-1)^3$ $+6a$
$24Q(x)(x-1)+36Q'(x)(x-1)^2+8Q''(x)(x-1)^3$ $+6a$
$\rightarrow 6a=48\times 49\times 50+28\times 29\times 30$
$\rightarrow a=23660$

แทนค่า $a$ ใน (3)
$b=-70495$

แทนค่า $a,b$ ใน (2)
$c=70090$

แทนค่า $a,b,c$ ใน (1)
$d=-23252$

จะได้เศษคือ $23660x^3-70495x^2+70090x-23252$

แก้ไขตามที่พี่เล็กท้วง....ไม่ได้ใช้แคลมานานแล้วเลยลืมสูตร
$\dfrac{d(UV)}{dx} =U\dfrac{d(V)}{dx}+V\dfrac{d(U)}{dx}$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

$2^{100} = x$

$100 log2 = logx$

$100(0.301) = log x $

$30.1 = log x$

$10^{30.1} = x $

รากที่สิบ ของ สิบ เป็นเลข 1

$a_n = 1$

เราจะรู่่้ตอนสอบได้ไงว่ารากที่สิบของสิบมีเลข1เป็นตัวแรกรวมถึงตัวอื่นๆด้วย

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

เราจะรู่่้ตอนสอบได้ไงว่ารากที่สิบของสิบมีเลข1เป็นตัวแรกรวมถึงตัวอื่นๆด้วย

เพิ่งเห็นข้อความนี้ของมายด์ 55 ป่านนี้คงกำลังเดินทางกลับ

รู้ดิ่ เพราะรากที่้สองของ สิบ คือ 3.3 กว่า ๆ

รากที่ 4 ของ 10 ก็คือ 1.7 กว่า ๆ แล้ว ก็เลยเหลือแค่ 1

ปล. มันอาจจะมีวิธีที่ดีกว่านี้ แต่ตอนนี้เราก็ไม่รู้เหมือนกัน -0-

[หยินหยาง]

#66,67

ใช้ทวินาม

ถ้าได้ค้นกระทู้เก่าก็จะมีโจทย์ลักษณะนี้ที่เคยโพสต์อยู่บ่อยเหมือนกันครับ

$2^{100} =(1+\frac{24}{1000})^{10}*10^{30} $

[tlepcctrg]

ข้อที่ 13 ผมคิดได้ 840 แต่ไม่มี ใน choice อ่ะครับ ช่วยเฉลยเฉพาะข้อ 13 หน่อยได้ป่ะคับ

[cardinopolynomial]

ตอบ ข้อ 3 ครับ ลองอ่านโจทย์ดูดีๆๆ

[artty60]

ข้อ16.ไม่เข้าใจว่า $a_na_{n-1}...a_1a_0$ หมายความว่าไง $\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}=2^{100}$ หรือ $a_n\times a_{n-1}\times ...\times a_1\times a_0$

ถ้าเป็นแบบแรกแล้ว

$2^{100}=((2^{12}\times 2^{13})^2)^2$

$\quad\quad=((4096\times 8192)^2)^2$

$\quad\quad=((33...2)^2)^2=(1...4)^2=1...6$

$a_n=1;a_0=6\Rightarrow 1+6=7$

[<KAB555>]

รบกวน ข้อถามข้อ 24 หน่อยค่ะ

[กขฃคฅฆง]

เลือกโดเมนใน r ได้ 3 วิธี

เช่นเลือก 1,2 นั่นคือจะสร้างความสัมพันธ์จาก {1,2} ไป {a,b,c,d}

ซึ่งเท่ากับ จำนวนความสัมพันธ์จาก {1,2} ไป {a,b,c,d} ทั้งหมด - จำนวนความสัมพันธ์ที่โดเมนมีสมาชิกตัวเดียว - จำนวนความสัมพันธ์ที่โดเมนเป็นเซตว่าง

จำนวนความสัมพันธ์จาก {1,2} ไป {a,b,c,d} ทั้งหมด เท่ากับ $2^8$ = 256

จำนวนความสัมพันธ์ที่โดเมนมีสมาชิกตัวเดียว = $2(2^4-1)$ = 30

จำนวนความสัมพันธ์ที่โดเมนเป็นเซตว่าง = 1

คำตอบคือ 3(256-30-1) = 675