สงสัยครับ ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ????

[LOSO]

เคยอ่านเจอ ว่า " ผลบวกของความยาวด้านของสามเหลี่ยม 2 ด้าน ยาวมากกว่าด้านที่สามเสมอ "
สงสัยครับ อยากให้ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[t.B.]

ผมว่าวิธีพิสูจน์มันได้หลายแบบอยู่นะ
วิธีผมจะขอใช้กฏของ cos พิสูจน์แบบคร่าวๆนะครับ
ให้สามเหลี่ยมหนึ่ง มีด้านเป็น a,b,c ตามลำดับ โดยที่ $a\geq b\geq c\geq 0$
จากกฏของ cos(ใช้ด้านยาวสุดหรือ a เป็นเกณฑ์เพื่อความสั้นกระชับ)
$a^2=b^2+c^2-2bc\times cos\theta $ ; $\theta $=มุมตรงข้ามด้าน a
พิจารณาค่า $cos\theta $
สังเกตว่าถ้า $cos180^{\circ} =-1$ ทำให้ได้ $a^2=(b+c)^2 \rightarrow \therefore a=b+c $
ดังนั้นถ้า a=b+c แล้วจะเกิดมุมตรงข้ามด้าน a คือ 180 นั่นก็แสดงว่าสามเหลี่ยมนี้ไม่ใช่สามเหลี่ยมแต่จะเป็นเส้นตรงไปครับ
และสังเกตอีกว่า
a>b+c นั้นไม่มีทางเป็นไปได้อยู่แล้วเพราะขนาดมุม 180(กางออกเต็มที่แล้ว) มันยังได้แค่เท่ากันแถมเป็นเส้นตรงอีก
เพราะฉะนั้นจึงได้ a<b+c กรณีเดียวครับ

[LOSO]

ขอวิธีแบบอื่นๆที่ไม่ใช้ตรีโกณด้วยครับ

[nooonuii]

ลองวาดรูปตามนะครับ

ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ ลากเส้นตั้งฉากจากมุม $A$ ไปยังด้าน $BC$ ให้ตัดกันที่จุด $D$
โดยทฤษฏีบทพิธากอรัสจะำได้

$AB^2=AD^2+BD^2$
$AC^2=AD^2+DC^2\Rightarrow AD^2=AC^2-DC^2$

ดังนั้น $AB^2=AC^2-DC^2+BD^2$

แต่ $DC=BC-BD$ จึงได้

$AB^2 = AC^2-(BC-BD)^2+BD^2$

$ ~~~~~= AC^2 - BC^2+2BC\cdot BD$

แต่ $BD\leq BC$ จึงได้

$AB^2= AC^2 - BC^2+2BC\cdot BD$

$~~~~~\leq AC^2 -BC^2 +2BC^2 $

$~~~~~= AC^2+BC^2$

$~~~~~<AC^2+2AC\cdot BC + BC^2$

$~~~~~ = (AC+BC)^2$

ดังนั้น $AB < AC + BC$

อีกสองด้านที่เหลือก็ทำแบบเดียวกันครับ

[LOSO]

ขอบคุณครับ เข้าใจแล้วครับ

[Puriwatt]

ลองดูสองรูปนี้เพิ่มเติมดูนะครับ

[LOSO]

ขอบคุณ พี่Puriwattครับ ชัดเจนดี

[คusักคณิm]

มาช้าไป เลยไม่ได้ช่วยเลย จะบอกว่า เป็นจริงนะ

[MR.Quest]

มากกว่า ถ้างั้นไม่ใช่สามเหลี่ยม