ข้อสอบ สอวน. ค่าย1 เก่าๆครับ[ทฤษฎีจำนวน]

[polsk133]

พอดีไปค้นๆดูแล้วไม่เจอนะครับ ถ้าซ้ำก็ขออภัย

เป็นของศูนย์สวนกุหลาบนะครับ ซื้อหนังสือมาแล้วมันไม่มีเฉลย อยากขอดูวิธีทำของเซียนๆหน่อยนะครับ

ปี 2550

1.โดยใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พิสูจน์ว่า ถ้า $(a^2,b^2) = 1 แล้ว (a^n,b^n) =1$ [8คะแนน]

2.ให้ $R_n = 111...11 ${nตัว} จงพิสูจน์ว่า
2.1 ถ้า $n|m แล้ว R_n | R_m$
2.2 ถ้า $(m,n) =1 แล้ว (R_m,Rn)=1$ [10 คะแนน]

3.จงพิสูจน์ว่า ทุกจำนวนเต็มบวก n > 1 จะมีจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง p | n

4.จงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้จำนวนที่เขียนในรูป
$1^{2007} + 2^{2007} + ... + n^{2007}$ เป็นจำนวนเฉพาะ [8คะแนน]

5.จงพิสูจน์ว่า ผลคูณของจำนวนเต็มบวก4จำนวนที่เรียงต่อเนื่องกันไม่เป็นกำลังสามสมบูรณ์ [8คะแนน]

6.จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนประกอบปรากฏอยู่ในลำดับต่อไปนี้เป็นจำนวนอนันต์
$1,31,331,3331,33331,...$ [8คะแนน]

ปี 2551 คะแนนแต่ละข้อคือ 12 8 10 8 12 ตามลำดับ

1.จงพิสูจน์ว่าทุกพจน์ในลำดับต่อไปนี้ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

$49,4489,444889,44448889,...,44...4[nตัว]88...89[nตัว],... $

2.จงแสดงว่า $1^{2009} + 2^{2009} + 3^{2009} +...+ n^{2009} หารด้วย n+2$ ไม่ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

3.จงพสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต

4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $8p^2 + 1 $เป็นจำนวนเฉพาะ

5. จงแสดงว่ามีจำนวนประกอบ n เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้

$ n|(3^{n-1} - 2^{n-1})$

ปี 2552 10 คะแนนทุกข้อ

1. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $(a,b)=1 และ 2|ab$ แล้ว
$((a+b)^2 , a^4 + 2a^2b^2 + b^4) = 1$

2.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n \geqslant 2 $อยู่เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้ผลคูณ
$(2^2 -1)(3^2 -1)(4^2 -1)...(n^2 -1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3.จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก n อยู่เป็นอนันต์ ที่ทำให้
$2^{2n} +3$ เป็นจำนวนประกอบ

4.จงแสดงว่า ถ้า k เป็นจำนวนเต็มคี่บวกและ n เป็นจำนวนเต็บวกแล้ว
$2^{n+2} | (k^{2^n} -1)$

5.จงหาจำนวนเต็มบวก $n\geqslant2$ ทั้งหมดที่ทำให้
$2^n -1 และ 2^n +1$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ปี 2553 ข้อละ 10 คะแนน

1. จงหา $(3^{n!+2} -3 , 3^{(n+1)!+2} -3 )$

2.จงหาจำนวนเต็ม $n ทั้งหมดที่ทำให้ (n-3) | n^4 - n^3 +108$

3.จงหาจำนวนเฉพาะ$ p ทั้งหมดที่ทำให้ 5^p + 4p^4 $เป็นกำลังสองสมบูรณ์

4.ให้$ n$ เป็นจำนวนนับ จงแสดงว่า$ 5| 1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ ก็ต่อเมือ$ 4 หาร n $ไม่ลงตัว

5.ให้$ p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ n สำหรับจำนวนเต็ม$ n\geqslant 3$
จงพิสูจน์ว่า $p^2_{n+3} < p_np_{n+1}p_{n+2}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

2.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n \geqslant 2 $อยู่เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้ผลคูณ
$(2^2 -1)(3^2 -1)(4^2 -1)...(n^2 -1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

บางข้อก็มีเฉลยอยู่แล้วในห้องทฤษฎีจำนวนลองไปค้นดูครับ อย่างเช่นข้อนี้ มีอยู่สองวิธี

[วะฮ่ะฮ่า03]

ใครทำได้ข้อไหน ช่วยทำเฉลยวิธีทำให้หน่อยครับ ขอบคุณอย่างยิ่ง

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วะฮ่ะฮ่า03

ใครทำได้ข้อไหน ช่วยทำเฉลยวิธีทำให้หน่อยครับ ขอบคุณอย่างยิ่ง

ดูจากลายเซ็นผมว่าคุณ วะฮ่ะฮ่า03 เก่งที่สุดในบอร์ดนี้เเล้วหล่ะครับ

[Amankris]

ตาม #4 ไปครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

3.จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก n อยู่เป็นอนันต์ ที่ทำให้
$2^{2n} +3$ เป็นจำนวนประกอบ

$2^{2n}+3=4^n+3\equiv (-3)^n + 3\pmod 7$

เลือก $n$ เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่า $1$ จะพบว่า

$(-3)^n+3=3-3^n\equiv 0\pmod{7}$ โดย Fermat's Little Theorem

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

5.จงหาจำนวนเต็มบวก $n\geqslant2$ ทั้งหมดที่ทำให้
$2^n -1$ และ $2^n +1$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้า $n\geq 3$ เป็นคี่ $2^n+1$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ

ถ้า $n\geq 4$ เป็นคู่ $2^n-1$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ

ดังนั้น $n=2$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $8p^2 + 1 $เป็นจำนวนเฉพาะ

$p>3$

$8p^2+1 \equiv -p^2+1 \pmod{3} $

$-p^2+1 \equiv 0 \pmod{3} $

$\therefore p \le 3$

$p=3$

[Singularity]

$2553 ข้อ 5 $

$เมื่อ n 3,4 เห็นได้ง่ายว่าเป็นจริง$

$นั่นคือพิจารณาเมื่อ n\geqslant 5 ทำให้ได้ว่า p(n) \succ 8$

$โดย chebyshev"s theorem ได้ว่า p(n+2) \prec 2p (n+1), p (n+3) \prec 2p( n+2)$

$ p (n+2) \prec 2 p (n+1)$

$4p (n+2) \prec 8p (n+1) \prec p(n)p(n+1)$

$4p (n+2) ^2 \prec p(n)p(n+1)p(n+2)$

$จาก p(n+3) \prec 2p(n+2)$

$p(n+3)^2 \prec 4 p(n+2)^2$

$\therefore p(n+3)^2\prec p(n)p(n+1)p(n+2)$

[วะฮ่ะฮ่า03]

ขอบคุณครับสำหรับวิธีทำ สำหรับคุณโคชี่ และ Amankris คนเข้าใจถูกแล้วครับ

[Keehlzver]

สั้นๆนะครับ ถ้าทำแล้วไม่หลุดก็ลองหาวิธีอื่นนะครับ
สำหรับน้อง วะฮ่ะฮ่า03 รวงข้าวยิ่งแก่ยิ่งอยู่ติดดินครับ น้องต้องฝึกอีกมากครับกว่าจะ "ก้าวสู่ IMO ( สบายสบายสิวสิวชิวชิว ครับผม )"

2550
1.พยายามพิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า $(a,b)=1$ เหมือนกัน แล้วค่อยอุปนัย
2.เขียน $R_{n}$ ให้อยู่ในรูปของตัวแปร $n$ ให้ได้ซะก่อนแล้วบทพิสูจน์เต็มๆจะมาเองครับ
2.1 ใช้เอกลักษณ์ $a^m-b^m=(a^n-b^n)(a^{m-n}+a^{m-2n}b^n+...+a^nb^{m-2n}+b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$
2.2 จับใส่ทบ.ไดโอหรือไม่ก็อัดยูคลิดเข้าไปแบบที่ทำข้อ $(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$
3. วิธีผมนะจับ $n$ ใส่ FTA แล้วพยายามสรุปให้ได้ว่ามี $p\mid n$ เสมอ มั่นใจว่าต้องใช้อุปนัยครับ ถ้าไม่ได้เปิดเฉลยในเล่มเทาๆหน้าที่ 25 ทบ.3.1.2
4.แบ่งพิจารณา $n$ เป็นคู่-คี่ ถ้าเป็นคี่ 3 จะหารลง พิสูจน์ได้ด้วยเอกลักษณ์ที่อาจารย์เขาสอนให้ในห้อง ชุดเดียวกับข้อ 2.1
5. ให้ 4 จำนวนนั้นเป็น $n(n+1)(n+2)(n+3)=m^3$ พิสูจน์ขัดแย้ง
6. เขียนให้อยู่ในรูป $n$ ให้ได้คล้ายๆข้อ 2 ถ้าไม่หลุดจริงๆ ให้ใช้นกพิราบครับ (ใช้ได้เพราะย้ายเนื้อหามาเรียนค่าย 1 แล้ว)
2551
1. มันคือ $7^2,67^2,667^2,...$ ทำไงต่อดี?
2.จับให้อยู่ในรูป $n+2$ แล้วใช้เอกลักษณ์ชุดเดียวกับข้อ 2.1
3.ไปหาอ่านเอาในหนังสือครับ หน้าที่ 27
4. partition $p$ ดีๆ
5. เลือก $n=3^{2^{t}}-2^{2^t}$ จับใส่เอกลักษณ์ แล้วพิสูจน์ว่า $2^t\mid 3^{2^t}-2^{2^t}-1$
2552
1. สมมติให้ หรม.ของมันเป็น $d$ ต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $d=1$ จะได้ว่า $d\mid (a+b)^2$ และ $d\mid ((a+b)^2-2ab)^2$ ลองไปทำต่อดูเองนะครับ
2.จัดก้อนๆนั้นให้อยู่ในรูปจำนวนสามเหลี่ยม แล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า มีลำดับของจำนวนสามเหลี่ยมเป็นอนันต์ที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เล่มเทาหน้าที่ 21
3. แทนค่าดูจะพบว่า ถ้า $n=...$ จะได้ว่า $7$ จะหาร $2^{2n}+3$ เลือก $n$ ดีๆครับ
4.อุปนัยบน $n$ สังเกตดูว่า $k^{2^{n+1}}-1$ มันจะแยกตัวประกอบได้
5. partition $n$ ดีๆ แบบที่พี่ nooonuii ทำ
2553
1.ตอบ 6 ทำเหมือนข้อ $(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$
2.หารยาวออกมา จะได้ว่า n-3 ต้องเป็นตัวประกอบของ... ทำต่อดูเอง
3.มี $n\in \mathbb{N}$ ที่ทำให้ $5^p=(n-2p^2)(n+2p^2)$ แล้ววิเคราะห์ต่อให้สุดครับ
4.partition $n$ แล้วจับ $1^n+4^n$ กับ $2^n+3^n$ หรือไม่ก็ลองดูหนังสือ 104 Number ของ Titu
5.เล่มเทาๆหน้าที่ 91 ข้อ 6

[Keehlzver]

เอกลักษณ์พวกนี้ผมจดมาจากอาจารย์ในค่ายครับ มีความจำเป็นในการแก้โจทย์บางข้อดังที่ผมได้โพสต์ไปข้างบนครับ ทุกข้อพิสูจน์ได้ด้วยการอุปนัยบนตัวแปร $m$ ครับ
ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ และ $m,n \in \mathbb{N}$ โดยที่ $m\geq n$ จะได้ว่า
1. $a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+a^{m-2}+...+a+1)$
2. $a^m-1=(a^n-1)(a^{m-n}+a^{m-2n}+...+a^n+1)$ เมื่อ $n\mid m$
3.$a^m-1=(a^n+1)(a^{m-n}+a^{m-2n}+...+a^r)+(a^r-1)$ เมื่อ $n\nmid m$ และ $m=nq+r$ , $0<r<n$
4.$a^m-1=(a^n+1)(a^{m-n}-a^{m-2n}+...+a^n-1)$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นคู่
5.$a^m+1=(a^n+1)(a^{m-n}-a^{m-2n}+...-a^n+1)$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นคี่
6.$a^m-b^m=(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+...+ab^{m-2}+b^{m-1})$
7.$a^m-b^m=(a^n-b^n)(a^{m-n}+a^{m-2n}b^n+...+a^nb^{m-2n}+b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$
8.$a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+...-ab^{m-2}+b^{m-1})$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนคี่
9.$a^m+b^m=(a^n+b^n)(a^{m-n}-a^{m-2n}b^n+...-a^nb^{m-2n}+b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นจำนวนคี่
10. $a^m-b^m=(a^n+b^n)(a^{m-n}-a^{m-2n}b^n+...+a^nb^{m-2n}-b^{m-n})$ เมื่อ $n\mid m$ และ $m$ เป็นจำนวนคู่

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ปี 2553
1.ตอบ 6 ทำเหมือนข้อ $(2^a-1,2^b-1)=2^{(a,b)}-1$

ตอนแรกยูคลิดด้วยอะไรหรอครับ