ข้อสอบ 100 ปีโรงเรียนนครสวรรค์ (ม.5)

[Rovers]

ข้อสอบมี 50 ข้อ 100 คะแนน แบบเติมเฉพาะคำตอบ
ข้อ 1-10 ลำดับและอนุกรม
ข้อ 11-20 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อ 21-30 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ข้อ 31-40 จำนวนเชิงซ้อน
ข้อ 41-50 สถิติ

(1) ถ้าลำดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , ... มีพจน์ที่ 15 เป็น -34 แล้วจงหา

29 S n=1

ๆ ็ ่

(an+2n)

๖ ๚ ๘

(2) กำหนดให้ a , b , c ,... เป็นลำดับเรขาคณิตและมีผลคูณ 3 พจน์แรกเป็น 27 ถ้า a , b+3 , c+2 ,... เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc มีค่าเท่ากับเท่าใด

(3) ถ้าผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 7+13+19+... มีค่าเท่ากับ 1280 แล้ว 1² + 2² + 3² + ... + n² มีค่าเท่ากับเท่าใด

(4) ถ้า y=mx+c โดยที่ m,c เป็นค่าคงตัว และ 28 = 5c+10m และ 67 = 10c+30m และ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅= 28 แล้ว y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅ มีค่าเท่าใด (ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง)

(5) กำหนดให้

10 S i=1

(xi-3) = -38

และ

10 S i=1

2yi = 8

และ

10 S i=1

(5 - xi)(yi + 2) = 76

แล้วจงหาค่าของ

10 S i=1

(xiyi)

(6) ถ้า Sn แทนผลบวก n พจน์ของอนุกรม

ฅ S n=1

ๆ ็ ่

cos np พพ 3n

๖ ๚ ๘

แล้ว 1+4S50 มีค่าเท่ากับเท่าใด

(7) ถ้า an เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,n,n,n,...,n แล้ว จงหาค่าของ

30 S n=1

an

(8) ถ้า 20 , x₂ , ... , x₂₅ เป็นข้อมูลที่เรียงกันจากน้อยไปหามากและเป็นลำดับเลขคณิต และเปอร์เซนไทล์ที่ 25 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 31 แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่าใด

(9) ให้ {Sn} เป็นลำดับของจำนวนจริงที่กำหนดโดย Sn - Sn-1 = 4n-1 สำหรับ n = 1,2,3,... และ S0 = 1/3 แล้ว จงหาค่าของ

ๆ ็ ่

6Sn พพพ 5 ท 22n

๖ ๚ ๘

(10) กำหนดให้ลำดับ a_n สอดคล้องกับสมการ (2/3)a₁ + a₂ + (4/3)a₃ + ... + ((n+1)/3)a_n = (n+2)/(n+3) เมื่อ n เป็นจำนวนนับแล้ว a₉₉ / a₉₈ มีค่าเท่ากับเท่าใด

[Rovers]

(11) ให้ {a,b} เป็นเซตคำตอบของสมการ 2 ^x+2 - 9ึ2^x + 2 = 0 โดยที่ a > b ถ้า m = a - b แล้ว (25)^log₅m มีค่าเท่ากับเท่าใด

(12) ถ้า log₆2 = a แล้ว log₃2 มีค่าเท่าใด (ตอบในรูปของ a)

(13) ถ้า log63 , log9(3x - 2) , log9(3x + 16) เป็นสามพจน์แรกที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต และ M =

ๆ ็ ่

3x 1 20 2

๖ ๚ ๘

และ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ 2ด2 แล้ว det(M^-1 + 5I) มีค่าเท่าใด

(14) ให้ A เป็นเซตคำตอบของอสมการ (4^x -2)log(1-x²) > 0 ถ้า a เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ A และ b เป็นค่าขอบเขตล่างมากสุดของ A แล้วห.ร.ม.ของ 12a กับ 4b มีค่าเท่ากับเท่าใด

(15) กำหนดให้ y = 4(2^{log x2}) - 9(2^{log(x/10) +1}) + 2 ตัดแกน x ที่จุด (a,0) และ (b,0) โดยที่ a>b แล้ว (a)sin(11p/6) มีค่าเท่าใด

(16) กำหนด log_ad = 2 , log_bd = -1 และ log_cd = 0.4 แล้ว log_abcdd มีค่าเท่ากับเท่าใด (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

(17) กำหนดให้ a > 0 และ

g(x) =

ๆ ็ ่

-a(10x) เมื่อ x < 1 x3 - 1 เมื่อ x ณ 1

ถ้าเรนจ์ของ g = (-2.5,ฅ) แล้ว g^-1(a-1) มีค่าเท่ากับเท่าใด

(18) กำหนดให้ (a,b) เป็นเซตคำตอบของอสมการ log(3x+4) > log(x-1) + 1 และ P(x) = x³ + ax² + bx + 2 แล้ว x+3 หาร P(x) เหลือเศษเท่าใด

(19) ให้ f(y) = (log₂y)⁶ + m(log₂y)³ -(log₂y) - 1 เมื่อ mฮR และ 1+ (log₂y) หาร f(y) เหลือเศษ 1 ถ้า p คือเศษที่ได้จาก (log₂y) หาร (f(y)+5) แล้ว 2^p-6 มีค่าเท่ากับเท่าใด (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

(20) กำหนดให้ m,n และ k เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ x น 1 เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ (log_mx) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ (log_nx) กับ(log_kx) แล้ว จงหาค่าของ (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

ๆ ็ ่

logkm + lognm พพพพพพพ 6logmn - 3logkn

๖ ๚ ๘

[gon]

โอ้ น้อง Rover ลงทุนพิมพ์เองเลยหรือครับ เป็นไงบ้างครับ ทำทันหรือเปล่า ว่าแต่ว่า ข้อ 19 กับ 20 คุ้น ๆ นะ คล้ายๆกับโอลิมปิกรอบแรกปีไหนสักปีนี่ล่ะ

[gon]

ขอประเดิม ข้อ 1 เลยง่ายดี
\[\Sigma_{n=1}^{29} a_n + 2\Sigma_{n=1}^{29} n = 29a_{15} + 29 \cdot 30 = -116 \]

[Epsilon]

ไปสอบมาเหมือนกัน
ข้อสอบ ถึกมากๆๆๆ กว่าจะได้คำตอบแต่ละข้อ โดยเฉพาะ สถิติ
จะมีคนได้ถึง 80% รึป่าวยังไม่รู้เลย ถ้ามีนี่แสดงว่าคนนั้นมีพลังเยอะมากๆ ขอคารวะ
สงสัยจะไม่มีคัยได้เงินรางวัล 10000 บาท

[nongtum]

ขอแค่คำตอบก่อนละกัน อยากได้วิธีทำขอไหนถามได้ครับ และอย่าเชื่อจนกว่าจะคิดได้เอง

2. 169
3. 2870
4. 34.2
5. 60
6. (1/3)⁵⁰
7. 156
9. 2/5
10. 33/34
11. 36
12. a/(1-a)
14. 2
15. 5
16. 1/3
17. log(5)
18. 16
19. 1/4
20. 2/3

[นายคนดี]

บางข้อก็ไม่ทันครับผมก็ไปสอบมา

[นายคนดี]

มต่อนะคับ
ข้อ 21 ถ้า y=2x-1 ทำมุม q กับแกน x ทางบวก โดยที่ 0 ฃ q < 360 แล้ว sin2q มีค่าเท่าใด (ตอบเปนเศษส่วนอย่างต่ำ)

22 . กำหนด sin A+cos A= (4/3) โดยที่ sin A>cosA แล้ว sin^{3} A-cos^{3} A มีค่าเท่ากับเท่าใด

23. arcsin(sin3ไพลส์/2) +cos(arccos(-ไพล์/5) มีค่าเท่ากับเท่าใด
24 ถ้า arctanx=arctan(1/4)-2arctan(1/2) แล้ว x มีค่าเท่าใด
25กำหนดให้ A คือเมตริกซ์ แถว1หลัก 1 cos2q แถว1หลัก2 sinq
แถว2หลัก1 3 แถว2หลัก2 1 เมื่อ0ฃqฃ360 ผลบวกของ qทั้งหมดที่ทำให้ det A=2 มีค่าเท่าใด

[นายคนดี]

26 ให้ A เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ sin^{2} 6x+8sin^{2}3x =0 เมื่อ 0ฃxฃ360 แล้ว cos^{2}(arctan(a/360) มีค่าเท่ากับเท่าใด

[nongtum]

ต่อจากด้านบน

21. 4/5
22. \(25\sqrt{2}/54\)
23. \(-3\pi/10\) (ตามนิยามของ arcsin และ arccos)
24. -13/16
25. 810°
26. 4/53

ปล. พายหรือไพ (pi) ไม่มี'ล์'หรือ'ลส์'ครับ
Edit1: แก้ข้อ 23,25

[R-Tummykung de Lamar]

เอามั่งครับ ม.ต้น ไม่ย๊อม ไม่ยอม อิอิ

1.กำหนดให้ \( \displaystyle{\ P(x)\ =\ x^3+ax^2+bx+2\ }\) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง ถ้า x - 1 หาร พหุนาม P(x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังนั้น a + b มีค่าเท่าไร

2.ถ้า \( \displaystyle{\ 254000_m\ } \) มีค่าเท่ากับ \( \displaystyle{\ 152131_9-2441210_5\ }\) แล้ว m มีค่าเท่าไร

3.ถ้า \( \displaystyle {\ \sqrt{2}x^5+(\sqrt{3}-5\sqrt{2}+1)x^4-(3\sqrt{3}-5\sqrt{2}+8)x^3-mx^2+(2\sqrt{2}+1)x-2\sqrt{2}\ } \) หารด้วย\( \displaystyle {\ x^2-3x-2\sqrt{2}\ } \) ลงตัว ตงหาค่าของ m (ตอบให้อยู่ในรูปของทศนิยมที่ถูกต้องถึงตำแหน่งที่ 3)

4.ถ้า \( \displaystyle {\ x^2+2y^2+4x-4y+2\ =\ 0\ } \) สามารถจัด ให้อยู่ในรูป \( \displaystyle {\ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}\ =\ 1\ } \) แล้ว \( \displaystyle {\ a^2+b^2\ } \) มีค่าเท่าไร

5.จงทำให้อยู่ในรูปผลสำเร็จ
\( \displaystyle{\frac{6x^3-25x^2-11x+60}{4x^3-23x^2+39x-18}\div \frac{12x^3-32x^2-25x+75}{8x^3-50x^2+93x-45}}\)
คำตอบให้เขียนอยู่ในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน 1

6.จงหาค่าของ \( \displaystyle {\ \sqrt{0.0043046721}-\sqrt[3]{-1.061208}-\sqrt{12.0409}-\sqrt[3]{0.456533}+\sqrt{1.0816}\ } \)

7.ถ้า \( \displaystyle {\ 4a^2+9b^2\ =\ 13ab\ } \) และ \( \displaystyle {\ \frac{a}{b}\ >\ 1\ } \) แล้ว \( \displaystyle {\ \frac{a}{b} \ } \) มีค่าเท่าไร (ตอบในรูปของเศษส่วน)

8.ถ้า \(\displaystyle{\ \frac{1}{2}\ } \) และ 1 เป็นคำตอบของสมการ \( \displaystyle {\ ax^2-3x+c\ =\ 0\ } \) โดยที่ a และ c เป็นจำนวนจริง แล้ว เศษที่เหลือจากการหาร \( \displaystyle {\ ax^2-3x+c\ =\ 0\ } \) ด้วย x + 2 มีค่าเท่าไร

9.ถ้า \( \displaystyle {\ P(x)\ =\ \frac{x^3+x-2}{x-1}\ } \) แล้ว P(1) มีค่าเท่าใด

10.ให้ \( \displaystyle {\ f(x)\ =\ ax^3+b^2+cx+d\ } \) เมื่อ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง ซึ่ง f(-1) เท่ากับสามเท่าของ f(1) และ f(0) = 2 ถ้า -1 และ 1 เป็นคำตอบของสมการ \( \displaystyle {\ 3ax^2+2bx+c\ =\ 0\ } \) แล้ว f(4) มีค่าเท่าใด


อัพ 10 ข้อก่อนนะครับ เหนื่อย

[nongtum]

ของม.ต้นคำนวณตรงไปตรงมา แต่บางข้อคิดกันเหนื่อยและหนักกว่าของม.ปลายอีก แถมบางข้อออกโจทย์ไม่ดีอีก อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเห็นผลด้วยตนเอง

1. 2
2. 7 (ข้อนี้หากขี้เกียจคูณเลขเยอะ ก็เช็คเศษแทน)
3. \(-(8+2\sqrt{2}+2\sqrt{6})\approx-14.313\) (ค่อยๆหารรวบหัวรวบท้าย)
4. 6
5. (x-4)/(x-2) (น่าจะระบุว่าคำตอบ"ตัวเศษและตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้น" ไม่ใช่"ในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน 1" เพราะคำตอบนี้ไม่ใช่พหุนาม)
6. -2.11439
7. 9
8. 15
9. 4(หากกำหนด P(x) หาค่าได้และต่อเนื่อง ณ x=1) หาค่าไม่ได้(หากไม่ให้อะไรมาเพิ่ม)
10. 28

[Rovers]

ม.5 ข้อ 21-40 (ทวน 21-26 ให้อีกรอบ)

(21) ถ้า y=2x-1 ทำมุม q กับแกน x ทางบวก โดยที่ 0 ฃ q < 360 แล้ว sin2q มีค่าเท่าใด (ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

(22) กำหนด sin A+cos A= (4/3) โดยที่ sin A > cosA แล้ว sin³ A-cos³ A มีค่าเท่ากับเท่าใด

(23) arcsin(sin

3p พ 2

) + cos(arccos

-p พ 5

)มีค่าเท่ากับเท่าใด

(24) ถ้า arctan x = arctan

1 พ 4

-2arctan

1 พ 2

แล้ว x มีค่าเท่าใด

(25) กำหนดให้ A =

ๆ ็ ่

cos2q 3

sin q 1

๖ ๚ ๘

เมื่อ 0 ฃ x ฃ 2q

แล้วผลบวกของ q ทั้งหมดที่ทำให้ det A = 2 มีค่าเท่ากับเท่าใด

(26) ให้ A เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ sin² 6x + 8sin²3x = 0 เมื่อ 0 ฃ x ฃ 2q แล้ว cos² (arctan(A/p)) มีค่าเท่ากับเท่าใด

(27) ให้ B เป็นจุดปลายแกนโทซึ่งอยู่เหนือแกน x ของวงรี

x2 พ 9

+

y2 พ 4

= 1

และ A กับ C เป็นจุดปลายแกนเอกของวงรีวงนี้

แล้ว cos ะABC มีค่าเท่ากับเท่าใด

(28) กำหนดให้ C =

ๆ ็ ่

3 - 4sin2

p พ 12

๖ ๚ ๘

ๆ ็ ่

4cos2

p พ 12

-3

๖ ๚ ๘

ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีด้าน BC ยาว 3 หน่วย ด้าน AB ยาว c หน่วย และ cos B = 0.75 แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับเท่าใด

(29) ให้ A คือเซตคำตอบของอสมการ

sin2x - 0.25 พพพพพพพพ ึ3 - (sin x + cos x)

> 0

เมื่อ x ฮ [0,2p]

ถ้า M คือค่าขอบเขตล่างมากสุดของ A และ N คือค่าขอบเบตบนน้อยสุดของ A จงหา sin(M-N)

(30) ถ้า

sin A พพ sin B

=

2 พ ึ3

และ

cos A พพ cos B

=

1 พ ึ2

แล้ว tan2A มีค่าเท่ากับเท่าใด

(31) กำหนดให้ (4+3i)z³ = (125z)/(z²) เมื่อ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว |z| มีค่าเท่ากับเท่าใด

(32) ถ้า z = cos

p พ 60

+ i sin

p พ 60

แล้ว ( z¹⁰ - (z¹⁰)^-1 + 3)⁴ มีค่าเท่ากับเท่าใด ตอบในรูป a+bi โดยที่ a,b เป็นจำนวนจริง

(33) ถ้า z₁ = 4(cos145 + i sin145) และ z₂ = ึ3(cos115 + i sin115) แล้ว |z₁ - z₂|² มีค่าเท่ากับเท่าใด

(34) ถ้าจำนวนเชิงซ้อน w เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ z³ + z² + 3z - 5 = 0 และ |w-(2+2i)| = 3 แล้วอินเวอร์สการคูณของ w มีค่าเท่ากับเท่าใด

(35) ให้ A เป็นจุดบนวงกลม x² + y² + 4x - 6y + 11 = 0 ซึ่งอยู่ใกล้กับจุดโฟกัส F ของพาราโบลา x² - 12x + 4y + 52 = 0 มากที่สุด
แล้ว (A-F)(A-F) มีค่าเท่ากับเท่าใด

(36) กำหนดให้ P(x) = x³ + ax² + bx + 3 เมื่อ a,b เป้นจำนวนจริง ถ้า -3 เป็นรากหนึ่งของ P(x) และเศษที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x+1 คือ 4 แล้วเซตคำตอบของสมการ P(x) = 0 คือเซตใด (เขียนแบบแจกแจงสมาชิก)

(37) กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนจริง และ f(x) = x⁴ - 6x³ + 15x² + ax + b จำนวนเชิงซ้อน 1+i และ 2+i เป็นรากของ f(x) แล้ว x-1 หาร f(x) เหลือเศษเท่าใด

(38) ถ้า A เป็นเซตคำตอบของสมการ z⁵ - i = 0 และ B เป็นเซตคำตอบของสมการ z⁹ - i = 0 แล้ว AวB คือเซตใด (เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและเขียนสมาชิกของเซตในรูปของ a+bi)

(39) กำหนดให้ x = cos(p/8) - i sin(p/8) และ z = x - x⁵ แล้ว |z| มีค่าเท่ากับเท่าใด

(40) กำหนดให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งอยู่ในควอดรันต์ที่ 2 และสอดคล้องกับสมการ |4iz^-1 + 9z| = 6ึ2 และ |z-1| = ึ2 แล้ว z+z มีค่าเท่ากับเท่าใด

[นายคนดี]

พี่ nongtum ครับ ข้อ 25 ผมคิดได้ 810 อะครับ
โดยใช้วิธีที่แสดงให้ดูครับ ช่วยพิจารณาด้วยนะคับ
เพราะ จาก det A=2
จะได้ cos2q-3sinq=2
cos²q-sin²q-3sinq =2
1-sin²-sin²q-3sinq =2
2sin²q+3sinq+1=0
(2sinq+1)(sinq+1)=0
sinq = (-1/2),1
จาก 0ฃqฃ2p
\ q =210,270,330
Sq =210+270+330=810

ม่ายรู้ว่าจาผิดรึเปล่า พี่ nongtum ช่วยพิจารณาด้วยครับ

[นายคนดี]

ขอแก้นิดนึงส์นะครับ
sinq = (-1/2),-1
ป.ล. ผมพิมพ์ผิดเครื่องหมายนิดครับขอโทดคับ