Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 18:08
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Icon22 ข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 ณ จังหวัดขอนแก่น

ยากดีแท้ - -''
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 18:10
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Post

ชิ้นที่ 2
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 18:12
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Post

ชิ้นที่ 3 (ชิ้นที่ 2 ขีดทึบๆ เอียงๆที่อยู่ท้ายข้อ 13 นั่นเป็นเคอร์เซอร์ของ word ครับไม่ต้องสนใจ)
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 18:14
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Post

ชิ้นสุดท้าย
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 18:25
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

ยากจิงๆด้วยเหอๆๆๆ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 20:47
Hermioney's Avatar
Hermioney Hermioney ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2004
ข้อความ: 28
Hermioney is on a distinguished road
Post

ยากจริงๆๆๆๆ ด้วยสิ
__________________
"Imagination is more important than knowledge. Knowledge is limited. Imagination encircles the world."
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 31 พฤษภาคม 2004, 22:10
alpha alpha ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 119
alpha is on a distinguished road
Post

ข้อ 16 เลขชี้กำลังอันบนสุดเป็น 2004 นะครับ พอดีมันซ้อนกันมากเกินตัวเลยเล็ก
__________________
การกลายพันธุ์:
เมื่อเอาปี 2542 เป็นปีฐาน พบว่า
ข้อสอบคณิต 1 ปัจจุบัน ยากราวกับ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42
ข้อสอบคณิต 2 ปัจจุบัน ยากราวกับ ข้อสอบคณิต 1 ปี 42
ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน ยากราวกับข้อสอบโอลิมปิกไทย ปี 42

อนาคต คณิต 1 จะกลายเป็นโอลิมปิก คณิต 2 จะกลายเป็นสมาคมฯ แล้วทีนี้ ข้อสอบโอลิมปิกไทย จะกลายเป็น IMO มั้ยล่ะเนี่ย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 01 มิถุนายน 2004, 11:12
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

พิมพ์เองเลยหรือครับนี่ วิเศษจริง ๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 02 มิถุนายน 2004, 14:25
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon21

อ้อ. ส่งข้อสอบมาให้พี่ทางเมล์แล้ว ขอบคุณมากครับ. เดี๋ยวพี่จะลงในเว็บพลังเยอะจริง ๆ

02 มิถุนายน 2004 14:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 02 มิถุนายน 2004, 23:59
<คิดด้วยคน>
 
ข้อความ: n/a
Post

วันแรก

ข้อ 3.
เพราะว่า u2 + v2 +w2 = (u + v + w)2 - 2(uv + uw + vw) = 52 - 2(4) = 17
เพราะว่า u3 + v3 + w3 = (u + v +w)(u2 + v2 +w2) - (uv + uw + vw)(u + v + w) + 3(uvw) = (5)(17) - (4)(5) + 3(3) = 74
เพราะว่า (uv)2 + (uw)2 + (vw)2 = (uv + uw + vw)2 - 2(u2vw + v2uw + w2uv) = (uv + uw + vw)2 - 2uvw(u + v + w) = 42 - 2(3)(5) = -14
เพราะว่า (uv)3 + (uw)3 + (vw)3 = (uv + uw +vw)((uv)2 + (uw)2 +(vw)2) - (u2vw + v2uw + w2uv)(uv + uw + vw) + 3(uvw)2 = (uv + uw +vw)((uv)2 + (uw)2 +(vw)2) - uvw(u + v + w)(uv + uw + vw) + 3(uvw)2 = (4)(-14) - (3)(5)(4) + 3(3)2 = -89
ดังนั้นจะได้สมการพหุนามคือ x3 - 74x2 - 89x - 27 = 0

ข้อ 4.
x - sqrt(1 - 1/x) = sqrt(x - 1/x)
x2 + 1 - 1/x - 2x sqrt(1 - 1/x) = x - 1/x
x2 - x + 1 = 2x sqrt(1 - 1/x)
(x2 - x + 1)2 = 4x2(1 - 1/x)
(x2 - x + 1)2 = 4x(x - 1)
(x2 - x - 1)2 + 4x2 - 4x = 4x(x - 1)
(x2 - x - 1)2 = 0
x = (1 + sqrt(5)) / 2 , (1 - sqrt(5)) / 2
แต่จากเงื่อนไขของโจทย์ x >= 1
ดังนั้น x = (1 + sqrt(5)) / 2

ข้อ 6.
เพราะว่า f(x) = (x7 - 1) / (x-1) และ f(x7) = (x7)6 + (x7)5 + (x7)4 + (x7)3 + (x7)2 + (x7) + 1 จะได้
f(x7) / f(x) = [(x7)6 + (x7)5 + (x7)4 + (x7)3 + (x7)2 + (x7) + 1](x - 1) / (x7 - 1)
= [(x7)5 + 2(x7)4 + 3(x7)3 + 4(x7)2 + 5(x7) + 6 + 7/(x7 - 1)](x - 1)
= [(x7)5 + 2(x7)4 + 3(x7)3 + 4(x7)2 + 5(x7) + 6](x - 1) + 7/f(x)
ดังนั้นเศษเหลือคือ 7

ข้อ 9.
เพราะว่า (2n)!/[(k!)2((n - k)!)2] = (2n)!(nCk)2 / (n!)2 = (2nCn)(nCk)2 ดังนั้น
sum( (2nCn)(nCk)2 , k = 0 ถึง n) = 2nCnsum( (nCk)2 , k = 0 ถึง n) = (2nCn)2

ข้อ 10.
มีวิธีเลือก 4 แบบ ดังนี้
1) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
2) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 1 ตัว และหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 และ 2 มาอย่างละ 1 ตัว จะได้ n3 วิธี
3) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 1 มา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
4) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 2 มา 3 ตัว จะได้ nC3 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดคือ n3 + 3(nC3) วิธี

ข้อ 11.
เพราะว่า 91 = 7*13 ดังนั้น
1) x1 + x2 + x3 = 7 และ y1 + y2 + y3 + y4 = 13 หรือ
2) x1 + x2 + x3 = 13 และ y1 + y2 + y3 + y4 = 7
กรณี 1) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ 6C212C3 = 3,300 วิธี
กรณี 2) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ 12C26C3 = 1,320 วิธี
จำนวนผลเฉลยทั้งหมดคือ 3,300 + 1,320 = 4,620 วิธี

วันที่สอง

ข้อ 2.
เพราะว่า f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 2547 จะได้ f(0) = -2547
เพราะว่า f(x + m) = f(x) + m [f(1) + 2547] เมื่อ m เป็นจำนวนนับใดๆ
ดังนั้น f(2004) = f(0 + 2004) = f(0) + 2004 [f(1) + 2547] จะได้ f(1) + 2547 = 2547/1002
นั่นคือ f(m) = f(0 + m) = f(0) + m(2547/1002) = -2547 + m(2547/1002)
จะได้ f(2547) = -2547 + 25472/1002
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 03 มิถุนายน 2004, 11:45
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

ลองคิดดูแล้วครับ. โดยส่วนตัวคิดว่ายากกว่าของ สสวท. รอบแรก หลายข้อดูเหมือนง่าย แต่พอทำจะติดปัญหาจุกจิกเล็กน้อยกวนใจ อย่างข้อ 4 วันแรก ดูเหมือนง่าย แต่พอทำ ๆไปก็ติดสมการกำลังสี่ ก็พยายามนั่งมองว่ามันจะแยกตัวประกอบง่าย ๆ อย่างไรก็ไม่เจอ คิดมากเสียเวลา เลยทำไปตามแบบวิธีการแก้สมการกำลังสี่เสียเลย เป็นแบบนี้หลายข้อ คือโดยหลักการน่ะ sol ได้ แต่จะ sol อย่างไร. ถ้าโจทย์สนใจเฉพาะคำตอบก็อาจจะง่ายหน่อย แต่ถ้าสนใจหลักการแก้ที่ถูก 100% หลายข้อคงต้องแสดงวิธีการพิสูจน์อย่างมีหลักการ ถ้าใครแก้ปัญหาทุกข้อแบบ Elementary ได้ โดยไม่มีความรู้อะไรมาก ผมขอนับถือจริง ๆ

ทุกข้อที่คุณคิดด้วยคนเขียน คำตอบก็ตรงกับผมหมด แต่วิธีคิดจะต่างกันเสียส่วนใหญ่ มีบางข้อผมยังไม่ได้ทำ

อย่างไรก็ดี ผมลองนำข้อที่ 3 วันที่ 2 มาแปะไว้ ใครว่างก็ลองช่วยตรวจดูที ว่าแนวคิดที่ให้ไว้ มีบกพร่องตรงไหนหรือไม่อย่างไร. เพราะเรื่อง combinatorics เราคงต้องละเอียดกันที่สุด ลองดูนะครับ.
ให้ <1, 2, 3, ... , n> แทนการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิก 1, 2, 3, ... , n
ให้ f(n) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n ตัว ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด(ตามเงื่อนไขของโจทย์) จะได้ว่า
f(n - 1) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n - 1 ตัว
พิจารณาจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ในลำดับ 1, 2, ... , k - 1, k, k + 1, ... , n - 1, n ซึ่งมี n ตัว จะหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(n) และ f(n - 1) ดังนี้
สมมติว่า k อยู่หน้าสุด จะได้ว่า จำนวนเต็มบวกที่เหลือ n - 1 สิ่ง จะสลับกันอย่างมากที่สุด f(n - 1) ครั้ง เมื่อจัดเรียงแล้วก็จะได้เป็น <k, 1, 2, ... , k - 1, k + 1, ... , n> ซึ่งก็จะได้ว่าจะต้องทำการสลับอีก k - 1 ครั้ง จึงจะได้เป็น <1, 2, ... , k - 1,k, k, + 1, ... , n> ซึ่งจะสลับมากครั้งที่สุดเมื่อ k = n กล่าวคือเอา n มาอยู่หน้าสุดเป็น <n, 1, 2, ... , n - 1>
\ f(n) f(n - 1) + (n - 1)
ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เมื่อ พิจารณาแบบเดียวกันกับของ n - 1 ชิ้นคือ 1, 2, ... , n - 1 จะได้ว่าจะสลับมากที่สุดเมื่อ n - 1 อยู่หน้าสุด กล่าวคือเป็น <n - 1, 1, 2, ... , n - 2> \ วิธีการสลับแล้วได้จำนวนครั้งมากที่สุด จะเกิดเมื่อเรียงของจากมากที่สุดไปน้อยที่สุด คือเป็น <n, n - 1, ... , 2, 1> แต่ถ้าของเรียงอยู่แล้ว คือ <1, 2, ... , n> จะได้จำนวนการสลับเท่ากับศูนย์
f(n) f(n - 1) + (n - 1)
\ f(18) f(17) + 17 f(16) + 17 + 16 ... f(3) + 17 + 16 + ... + 3 = f(3) + 150
แต่โจทย์บอกว่าสลับไปทั้งหมด 150 ครั้ง แสดงว่าของ 3 ชิ้นสุดท้ายนั้นจำนวนวิธีการสลับเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ของ 3 ชิ้นสุดท้ายจะเรียงจากน้อยไปมากอยู่แล้ว ส่วนของก่อนหน้านี้จะต้องเรียงในแบบที่ก่อให้เกิดจำนวนการสลับมากครั้งที่สุด
นักเรียนจึงเข้าแถวได้เพียงแบบเดียว คือ หัวแถวเรียงจากคนสูงสุดลงมา จน 3 คนสุดท้ายค่อยเรียงจากน้อยไปมาก กล่าวคือเป็น <18, 17, 16, ... 15, 1, 2, 3>

03 มิถุนายน 2004 11:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 03 มิถุนายน 2004, 12:07
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

ข้อ 3 วันแรก. เสนอแนวคิดอีกอย่างดังนี้

พิจารณาสมการ x3 - px2 + qx - r = 0 ให้ x1 , x2 , x3
เป็นรากของสมการดังกล่าว ให้ y1 , y2, y3 เป็นรากของอีกสมการ
โดยที่ y 1= x13, y2 = x23 , y3= x3 3 หรือ y = x3
\ (x3 - r) = px2 - qx (x3 - r)3 = (px2 - qx)3
x9 - 3rx6 + 3r2x3 - r3 = p3x6 - q3x3 - 3(px2)(qx)(px2 - qx)
y3 - 3ry2 + 3r2y - r3 = p3y2 - q3y - 3pqy(y - r)
y3 - 3ry2 + 3r2y - r3 - p3y2 + q3y + 3pqy2 - 3pqry = 0
y3 - (p3 - 3pq + 3r)y2 + (q3 + 3r2 - 3pqr) - r3 = 0 ...(1)
ปัญหาในข้อนี้ คือ x3 - 5x2 + 4x - 3 = 0 นั่นคือ p = 5, q = 4, r = 3
นำไปแทนลงใน (1) จะได้ y3 - (125 - 60 + 9)y2 + (64 + 27 - 180)y - 27 = 0
หรือ y3 - 74y2 - 89y - 27 = 0
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 03 มิถุนายน 2004, 12:15
<คิดด้วยคน>
 
ข้อความ: n/a
Post

วันที่สอง ข้อ 3 คิดว่ายังไม่ถูกนะครับ
เพราะ f(18) = 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153 เป็นกรณีที่นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงลำดับย้อนกลับกันหมด
สังเกตได้ว่า จำนวนดังกล่าวมากกว่า 150 เพียง 3 แสดงว่าการยืนเรียงแถวของนักเรียนใกล้เคียงกับที่ นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงลำดับย้อนกลับกันหมดมาก

ดังนั้นหากเรา ช่วยครูประจำชั้น สลับคู่นักเรียนให้ก่อนสัก 3 คู่ เช่นเป็น
<17, 16 , 15 , 18, 14, 13, 12, ... , 3, 2, 1>
ก็จะช่วยให้ได้จำนวนครั้งที่ครูประจำชั้นต้องสลับเป็น 150 ครั้ง เช่นกัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 03 มิถุนายน 2004, 12:22
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

แถมให้อีกข้อ ข้อ 14 วันแรก ถ้าทำแบบ elementray ผมรู้สึกต้องทำยาวเหยียดเลย เขียนไปก็ไม่รู้เรื่องว่ามายังไง (ใครคิดสั้น ๆ เป็นบอก) เลยหามาทั่วไปเลย นี่ก็เหมือนกัน ถ้าโจทย์สนใจเฉพาะคำตอบ อาจจะลองทำกำลังน้อย ๆ แล้วเดาเลยก็อาจถูก แต่ถ้าพิสูจน์ก็อาจจะทำแบบนี้ ขอบอกใครจะทำทัน 3 ชั่วโมง

ถ้า a I + , a 1 และ m, n I + จะพิสูจน์ว่า (am - 1, an - 1) = a(m, n) - 1 ดังนี้
สมมติให้ d = (m, n) จะได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก s และ t ที่ทำให้ m = ds และ n = dt
\ am - 1 = ads - 1 = (ad)s - 1 ซึ่งหารด้วย ad - 1 ลงตัว
เพราะ a - b หาร an - bn ลงตัว ทุก n = 1, 2, 3, ...
ทำนองเดียวกัน an - 1 = adt - 1 = (ad)t - 1 ซึ่งหารด้วย ad - 1 ลงตัว
ในส่วนแรกสรุปได้ว่า ถ้า d = (m, n) แล้ว (ad - 1) | (am - 1) และ (ad - 1) | (an - 1)

ต่อไปจะพิสูจน์ว่า ad - 1 (หรือ a(m, n) - 1) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร am - 1 และ an - 1 ลงตัว)
d = (m, n) แสดงว่าจะมีจำนวนเต็ม x, y โดยที่ d = mx + ny ซึ่งจะได้ว่า x กับ y ต้องมีเครื่องหมายต่างกัน ทั้งนี้เพราะ ถ้า x, y < 0 ทั้งคู่ จะได้ว่า d < 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ หรือ ถ้า x, y > 0 ทั้งคู่ (x, y 1) ก็จะได้ว่า d m + n ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจาก d = (m, n) แสดงว่า d m และ d n จึงเหลือเพียงกรณีเดียวคือ เครื่องหมายต่างกัน โดยไม่เสียนัยสำคัญ จะสมมติให้ x > 0 , y 0 (ถ้า y = 0 ยังคงมั่นใจได้ว่า d > 0)

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกตัวอื่นนอกเหนือไปจาก ad - 1 ซึ่งหารทั้ง am - 1 และ an - 1 ลงตัว คือ c โดยที่ c | am - 1 และ c | an - 1 จะแสดงว่า c | ad - 1 ดังนี้
จะได้ว่า c | (amx - 1) เพราะ amx - 1 = (ax)m - 1m (x > 0)
และ c | (a-ny - 1) เพราะ a-ny - 1 = (a-y)n - 1n (y 0)
\ c | [ (amx - 1) - ad(a-ny - 1) ] (c | a c | b c | ax + by)

c | [ (amx - 1) - amx + ny(a-ny - 1)
c | (amx + ny - 1) หรือ c | (ad - 1) นั่นคือ c ad - 1
\ ad - 1 หรือ a(m, n) - 1 จะเป็น ห.ร.ม. ของ (am - 1, an - 1)
(52547 - 1, 52004 - 1) = 5(2547, 2004) - 1= 57 - 1

03 มิถุนายน 2004 12:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 03 มิถุนายน 2004, 12:24
<เจ้าอ้วน>
 
ข้อความ: n/a
Post

ดีใจด้วยกับการพัฒนาขึ้นไปอีกขั้นของข้อสอบไทย และการเรียนคณิตศาสตร์ในไทย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:31


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha