ช่วยแก้ปัญหาตรีโกณมิติให้ทีสิครับ

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

ข้อ 1. 2arcsinx + arcsin ( 2x\surd 1-x^2 ) = \pi /3 จงหา arcsin x

ข้อ 2. สุดายืนอยู่ทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ของภูเขาลูกหนึ่งมองเห็นยอดเขาเป็นมุมเงย 65 องศา เมื่อสุดาเดินตรงไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต้เป็นระยะทาง 500 เมตร จะมองเห็นยอดเขาเป็นมุมเงย 35 องศา จงหาความสูงของภูเขาลูกนี้
( ข้อ 2 รบกวนวาดรูปให้ดูหน่อยนะครับ ไม่ค่อยจะเป็นเลย )

[กิตติ]

ข้อ 1.$ 2arcsinx + arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } ) = \dfrac{\pi }{3} $ จงหา $ arcsin x $

เขียนLaTexแล้วอย่าลืมเครื่องดอลลาร์ปิดหัวท้ายประโยคด้วยครับ ไม่งั้นมันไม่แสดงครับ
โจทย์น่าจะเป็น $\sqrt{1-x^2} $ ใช้คำสั่ง \ surd มันไม่คุมทั้งพจน์ครับ
เศษส่วนใช้คำสั่ง \frac{} ครับ
แก้ตามที่เรียนมาว่าเทค $sin$เข้าไปแล้วมันก็กระจายเป็นค่า $sin$ ของผลบวกมุม

$ 2arcsinx + arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } ) =\dfrac{\pi }{3} $
$sin(2arcsinx + arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } ) = sin \dfrac{\pi }{3}$
$sin(2arcsinx)cos(arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } ))+cos(2arcsinx)sin(arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } ) =\frac{\sqrt{3} }{2} $

$sin(2arcsinx) = 2sin(arcsinx)cos(arcsinx)$
$cos(arcsinx) =\sqrt{1-x^2} $
$sin(2arcsinx) = 2x\sqrt{1-x^2} $
$cos(2arcsinx) = \sqrt{1-sin^2(2arcsinx)} =\sqrt{(2x^2-1)^2} = \left|\,2x^2-1\right| $

$cos(arcsin ( \frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } )) = \sqrt{\frac{1-5x^2}{1-x^2} } $
สมการที่ได้จะเป็น
$2x\sqrt{1-x^2}\times \sqrt{\frac{1-5x^2}{1-x^2} }+\sqrt{(2x^2-1)^2}\times\frac{2x}{ \sqrt{1-x^2} } =\frac{\sqrt{3} }{2} $
เดี๋ยวมาคิดต่อให้ครับ ขอไปทานข้าวเที่ยงก่อน
มาคิดต่อหลังเติมพลังไปแล้ว
$4x\sqrt{(1-5x^2)(1-x^2)}+2x \sqrt{(2x^2-1)^2} =\sqrt{3(1-x^2)} $
รู้สึกว่าไม่สวยเดี๋ยวลองคิดแบบใหม่

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

คือว่ามันเป็น 2x$\sqrt{1-x^2} $ อะครับ

[กิตติ]

ผมนั่งแก้มาครึ่งวัน โจทย์เป็นสมการกำลังหก...แก้ไม่ออก
ใจหนึ่งก็คิดว่าโจทย์ที่ผมลอกมาผิดหรือเปล่า.....คราวนี้ดูแล้วน่าจะออก

[Onasdi]

ให้ $A=2\arcsin x$ และ $B=\arcsin (2x\sqrt{1-x^2})$

จะเห็นว่า $\sin A=\sin B$

ดังนั้น $A=B+2k\pi$ หรือ $A+B=\pi+2k\pi$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$

ลองต่อดูครับ

[กิตติ]

ได้ไอเดียจากคุณOnasdi
ผมกำลังเข้าป่าลึก เกือบไปโผล่พม่าแล้ว ดีนะได้คุณOnasdiมาเรียกไว้ก่อน
ผมให้$A= arcsin x$.....เพราะจะได้ง่ายตามโจทย์ถาม
$sinA=x ,\ cosA=\sqrt{1-x^2} $
$2sinAcosA=2x\sqrt{1-x^2}=sin2A$.....เราเขียนกลับให้อยู่ในรูป$arcsin$ได้ว่า
$2A= arcsin 2x\sqrt{1-x^2}$
ดังนั้นจากโจทย์เดิม$ 2arcsinx + arcsin (2x \sqrt{1-x^2}) =\dfrac{\pi }{3} $
จะกลายเป็น $2A+2A =\dfrac{\pi }{3}$
ดังนั้น$4A= \dfrac{\pi }{3}$
$A=\dfrac{\pi }{12}$
เนื่องจากนิยามของarcsinนั้นจำกัดให้ค่ามุมอยู่$[-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2}]$
ดังนั้นจึงตอบว่า$arcsin x$ เท่ากับ $\dfrac{\pi }{12}$
ไปเที่ยวป่า กลับมาแล้วครับ
ช่วยดูหน่อยว่ายังหลงๆลืมๆอะไรอีกครับ

[Onasdi]

คำตอบถูกแล้วครับ

อย่างนึงที่ต้องระวังคือ จาก $y=\sin x$ เราสรุปไม่ได้นะครับว่า $\arcsin y=x$
เช่น $\dfrac{1}{2}=\sin \dfrac{2\pi}{3}$ แต่ $\arcsin \dfrac{1}{2}\not=\dfrac{2\pi}{3}$

สิ่งที่เราสรุปได้คือ
$\arcsin y=x+2k\pi$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $x+2k\pi$ อยู่ในช่วง $[-\pi,\pi]$ หรือ
$\arcsin y=\pi-x+2k\pi$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $\pi-x+2k\pi$ อยู่ในช่วง $[-\pi,\pi]$

ป.ล. เวลาพิมพ์ฟังก์ชันต่างๆ ลองใส่ \ หน้าฟังก์ชันนั่นดู จะดูสวยขึ้นครับ เช่น \sin \log

[ดุ๊กดิ๊กคุง]

ขอบคุณครับ ...

รบกวนข้อสองอีกซักข้อนะครับ

[พีร์นิธิ16]

5555+ ขอบคุณคราฟ

[lek2554]

รูปข้อ 2 ครับ



การหาความสูงภูเขา

มองสามเหลี่ยมที่พื้นดิน (เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก)

สมมติ ความสูงภูเขา $=h$

เปลี่ยนด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉากที่พื้นดินให้อยู่ในรูป $h$

จะได้ ด้านตรงข้ามมุมฉาก $=\frac{h}{tan35^o} $ ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งที่เหลือ $=\frac{h}{tan65^o} $

แล้วก็พิทากอรัส....จบครับ