Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 15 เมษายน 2014, 22:42
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

พิสูจน์กรณีทั่วไปไปเลย ไอเดียคือขยายสมการและแทรก $m_{i}$ เข้าไปโดยใช้ LEMMA 2
(ไม่ต้องรู้ว่าคำตอบหน้าตาเป็นยังไง เอา LEMMA ทุบเข้าไปอย่างเดียวพอ)

กำหนดสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $1 \leq i \leq r$
ระบบสมการที่ว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq r$
และจะมีคำตอบ unique ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{r}\right]}$

LEMMA1: สมการ $ax \equiv b \pmod{n}$ มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(a,n) \mid b$

LEMMA2: ระบบสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $i=1,2$
มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{1},m_{2}) \mid a_{2}-a_{1}$ และ unique ใน $\pmod{\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$

อุปนัยบน $r$ ถ้า $r=2$ ก็จริงจาก LEMMA ดังนั้น $P(2)$ จริง
สมมติว่า $P(k)$ จริง นั่นคือระบบสมการ $x\equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ $1 \leq i \leq k$
มีคำตอบ $A$ ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$ และ $(m_{i},m_{j}) \ a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k$

ให้ $M={\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$

พิจารณาระบบสมการ
$x \equiv a_{i} \pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$
$x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$
สมมติให้ระบบสมการนี้มี $B$ เป็นคำตอบใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$
จาก LEMMA2 $(M,m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$ และเพราะว่า $m_{i} \mid M$ ทุก $i$
ต้องได้ $(m_{i},m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$
เพราะฉะนั้นมี $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ $n(m_{i},m_{k+1})=B-a_{k+1}$
เพราะว่า $B$ เป็นคำตอบ จะได้ $B-a_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$

ถ้า $m_{i} \leq m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{k+1}) = nm_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$
ถ้า $m_{i} > m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{i}) =nm_{i} \equiv 0 \pmod{m_{k+1}}$
จาก LEMMA1 ได้ว่าสมการ $nm_{t_{1}} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{t_{2}}}$ $t_{s} \in \left\{\,i,k+1\right\}$ มีคำตอบ $x=n$
ซึ่งจะได้ว่า $(m_{i},m_{k+1}) \mid a_{i}-a_{k+1}$ ทุก $1 \leq i \leq k+1$

สมมติให้ระบบสมการมี $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k+1$ .....(*)
จะพิสูจน์ว่าระบบสมการมีคำตอบและ unique ด้วย
สำหรับ $m_{i},m_{j}$ ให้พิจารณาค่าของ $m_{1},m_{2}$ สำหรับสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ โดย $i=1,2$ ......(**)
จาก LEMMA ระบบสมการนี้มีคำตอบร่วมกันใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$
พิจารณาสมการ $x \equiv a_{3} \pmod{m_{3}}$
จาก (*) และจาก LEMMA สมการข้างบนจะมีคำตอบร่วมกันกับระบบสมการ (**) ใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2},m_{3}\right]}$

ในการพิสูจน์ขั้นอุปนัย จาก (*) และจากการที่ $A$ เป็นคำตอบของ $k$ สมการแรก
ได้ว่า $(M,m_{k+1}) \mid A-a_{k+1}$
เพราะฉะนั้นถ้าให้ $x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$
$x \equiv a_{i} \pmod{M}$ $1 \leq i \leq k$
จาก LEMMA ระบบสมการข้างบนมีคำตอบ unique ร่วมกันใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 16 เมษายน 2014, 00:54
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

จากขากลับตอนที่เราได้ว่า
mod [m1,m2] มีคำตอบสมมติว่าเป็น Z และพิจารณา mod m3
ตรงนี้เราไม่สามารถอ้างจากLEMMA ได้หนิครับว่า จะมีคำตอบใน mod[m1,m2,m3] เพราะเรายังไม่รู้ว่า ([m1,m2],m3)|Z-a3 หรือไม่
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 16 เมษายน 2014, 04:04
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ถ้าหากพิสูจน์ได้ว่า $(m_{1},m_{3}),(m_{2},m_{3})$ ต่างหาร $Z-a_{3}$ ลงมันจะจบเลยใช่ปะหละ
เพราะจาก ([m1,m2],m3)=[(m1,m3),(m2,m3)] และจาก a หาร c , b หาร c ได้ว่า ครนab หาร c

ผมอยากจะแนะนำว่าลองลิงค์ไปกับสมการ $ax \equiv b \pmod{n}$ ตอนนี้ยังคิดไม่ออก

ลองดูเฉลยแบบย่อม๊ากมากได้ที่ www.aw-bc.com/rosen/Rosen_NumTheory5_SSM.pdf‎
หน้า 47 ตรง 4.3.19 (มันเป็นเฉลยหนังสือในบรรณานุกรมของอาจารย์ในค่าย)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 16 เมษายน 2014, 06:38
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับสำหรับหนังสือเฉลย หาหนังสือเก่งจังเลยครับ

ผมติดตรงนี้เลยครับ ไม่รู้จะแสดงยังไง
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 20 เมษายน 2014, 16:26
gnap's Avatar
gnap gnap ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 ธันวาคม 2011
ข้อความ: 563
gnap is on a distinguished road
Default

ข้อแรกเรขาอ่านไม่ออกอ่ะครับ
ขอโจทย์หน่อยครับ
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ:

เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน
สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา]
สู้ๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 29 เมษายน 2014, 13:09
pont494 pont494 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มกราคม 2011
ข้อความ: 405
pont494 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap View Post
ข้อแรกเรขาอ่านไม่ออกอ่ะครับ
ขอโจทย์หน่อยครับ
1.(10 คะแนน) สำหรับ $\Delta ABC$ ใดๆ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดที่อยู่ในวงกลมเก้าจุด โดยที่จุดยอดมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่จุดที่มาจากจุดสำคัญทั้งเก้าของวงกลมเก้าจุด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 30 พฤศจิกายน 2014, 20:03
น้องเจมส์'s Avatar
น้องเจมส์ น้องเจมส์ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 กันยายน 2010
ข้อความ: 199
น้องเจมส์ is on a distinguished road
Default

พีชคณิตข้อ 3 ทำอย่างไรครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 30 พฤศจิกายน 2014, 22:08
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

(3.) สังเกตว่า $z+\overline{z}=0$ ครับ

ก็จะได้ว่า $z$ ต้องอยู่ในรูป ... ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 07 มกราคม 2015, 00:54
Napper's Avatar
Napper Napper ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2014
ข้อความ: 26
Napper is on a distinguished road
Default

มาให้แนวคิด Functional Equation #3,5 ครับ
จริงๆข้อ 3 เป็นข้อมาตรฐานที่เจอบ่อย จัดอยู่ในระดับกลางๆเกือบยาก

อ้างอิง:
3.หาฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ
$$f(x^2+f(y))=(x-y)^2f(x+y)$$
สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$
1.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(f(0))=0$
2.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(0)=0$
3.พิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่
4.เล่นกับพจน์ $f(x^2+f(y))$ ดูครับ โดยใช้สมบัติฟังก์ชันคู่ แล้วมันก็จะเกิดสิ่งอัศจรรย์!!!

อ้างอิง:
5.หาฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการ
$$f(x+y+z)=f(x)f(1-y)+f(y)f(1-z)+f(z)f(1-x)$$
สำหรับทุก $x,y,z \in \mathbb{R}$
1.แทน x=y=z=0 ให้หมด จะเกิดสองกรณีคือ $f(0)=0$ หรือ $f(1)=\frac{1}{3}$
2.ถ้า $f(0)=0$ แทนค่านิดหน่อยจะได้ว่า $f \equiv 0$ กรณีนี้จบไป
3.ถ้า $f(1)=\frac{1}{3}$ สามารถแทนค่าแล้วเกิดสองกรณีคือ $f(0)=\frac{1}{3}$ หรือ $f(0)=-\frac{2}{3}$
3.1. ถ้า $f(0)=\frac{1}{3}$ ใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร (ตัวแปรเดียวแต่คนละรูป) จะได้ $f \equiv \frac{1}{3}$
3.2. ถ้า $f(0)=-\frac{2}{3}$ ลองพิจารณาค่าของ $f\big(\frac{1}{2}\big)$ ดูครับ จะเกิดบางอย่าง...

07 มกราคม 2015 01:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Napper
เหตุผล: เพิ่มข้อ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 07 มกราคม 2015, 03:24
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

เก่งจังเลยครับ

ช่วยทำให้ความคิดเห็นที่ 16,17 เคลียร์หน่อยสิครับ

ปล.ผมจะไม่คิดต่อแล้ว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 08 มกราคม 2015, 08:35
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
เรขาข้อ 5 ผมให้ $(EAF)$ ตัดกับ $(BCA)$ ที่ $G$ ครับ เเล้วก็เเสดงให้ได้ว่า $(ECD),(BDF)$ ผ่านจุด $G$ เเล้วมันได้ไหมครับ 555
จะว่าไปแนวคิดนี้ดีเหมือนกันนะครับ

แต่ทำจริงๆอาจจะต้องมองไปที่วงกลมล้อมรอบ $ECD$ แทน
เพราะมันน่าจะวาดรูปง่ายกว่า

ทีนี้ก็ให้ $(ECD) \cap (BCA)=O$ (เหมือนรูปเจ้าของกระทู้)
จากนั้นก็ต่อ $OA,OC,OE$ แล้วใช้ angle chasing prove $EFAO$ เป็น concyclic
ก็จะได้วงกลมล้อมรอบ $FAE$ ผ่าน $O$

จากนั้นก็ลาก $OB,OD$ แล้วก๊อปๆเหมือนของข้างบนมา
มันก็จะ imply ได้ว่าวงกลมล้อมรอบ $DFB$ ก็ผ่าน $O$ เหมือนกัน
ก็จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม 4 รูปมีวงกลมล้อมรอบตัดที่ $O$ ตามต้องการ

ปล. ไอโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่สมมูลกับเส้นตรง 2 คู่ตัดกันเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป
จะได้วงกลมล้อมรอบของทั้ง 4 รูปตัดกันที่จุดเดียว (ตามที่คนข้างบนบอก)

แต่ถ้ามามองในแง่ของเส้นตรงที่ตัดกันเฉยๆ 4 เส้น (ได้ 1+2+3=6 จุด)
จากนั้นมาลากเส้นที่ 5 ให้ตัด 4 เส้นเมื่อกี้เพิ่มอีก 4 จุด รวมเป็น 10
ตรงนี้ไม่รู้ว่าสามเหลี่ยมที่เกิดยังมีสมบัติตัดกันจุดเดียวอยู่หรือเปล่า
ใครว่างๆก็ลองคิดดูนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 10 มกราคม 2015, 23:23
น้องเจมส์'s Avatar
น้องเจมส์ น้องเจมส์ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 กันยายน 2010
ข้อความ: 199
น้องเจมส์ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper View Post
มาให้แนวคิด Functional Equation #3,5 ครับ
จริงๆข้อ 3 เป็นข้อมาตรฐานที่เจอบ่อย จัดอยู่ในระดับกลางๆเกือบยาก



1.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(f(0))=0$
2.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(0)=0$
3.พิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่
4.เล่นกับพจน์ $f(x^2+f(y))$ ดูครับ โดยใช้สมบัติฟังก์ชันคู่ แล้วมันก็จะเกิดสิ่งอัศจรรย์!!!



1.แทน x=y=z=0 ให้หมด จะเกิดสองกรณีคือ $f(0)=0$ หรือ $f(1)=\frac{1}{3}$
2.ถ้า $f(0)=0$ แทนค่านิดหน่อยจะได้ว่า $f \equiv 0$ กรณีนี้จบไป
3.ถ้า $f(1)=\frac{1}{3}$ สามารถแทนค่าแล้วเกิดสองกรณีคือ $f(0)=\frac{1}{3}$ หรือ $f(0)=-\frac{2}{3}$
3.1. ถ้า $f(0)=\frac{1}{3}$ ใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร (ตัวแปรเดียวแต่คนละรูป) จะได้ $f \equiv \frac{1}{3}$
3.2. ถ้า $f(0)=-\frac{2}{3}$ ลองพิจารณาค่าของ $f\big(\frac{1}{2}\big)$ ดูครับ จะเกิดบางอย่าง...
พิสูจน์ฟังก์ชันคู่อย่างไรหรือครับ ข้อ3 ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 20 มกราคม 2015, 16:22
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ลองดูนี่ http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=334067

ให้ระวังเรื่อง logic (ตรรกศาสตร์) ตอนสรุปคำตอบให้ดีๆ

ผมว่าอาจารย์ค่ายเขาเอามาวัดตรงนี้แหละ ว่าเรา claim คำตอบ FE ดีแค่ไหน

ผมจะไม่ลงมือคิดข้อนี้นะ แต่แนะนำว่าให้ศึกษา solution ลิงค์ของผมดูเทียบกับ routine ของคนข้างบน

สังเกตประพจน์นี้ดีๆ $a^2f(b)=b^2f(a)$ ทุกจำนวนจริง $a,b$

เราต้องการ claim คำตอบของ $S=\left\{\,f(x) | a^2f(b)=b^2f(a)\right\}$ ทุกจำนวนจริง $a,b$ ถูกป๊ะ

ถ้าให้ $S_{1}=\left\{\,f(x) | \frac{f(a)}{a^2}=\frac{f(b)}{b^2}\right\}$ ทุก $a,b \in \mathbb{R}-\left\{\,0\right\}$

คำถามคือ $S_{1}$ cover คำตอบทั้งหมดของ $S$ ไหม ?

ถ้าใช่ต้องเขียนส่งอาจารย์ยังไงให้ถูก logic ไม่โดนหักคะแนน ?

ถ้าไม่ ต้องเขียนอะไรเพิ่มเข้าไป ?

ผมแค่มาชี้ให้เห็นอะไรบางอย่างนะ สำหรับคนเพิ่งเริ่มลุย FE

คนที่เก่งๆก็ช่วยๆกันชี้แนะหน่อย ส่วนตัวไม่ค่อยมีเวลาเท่าไรครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 18 มีนาคม 2017, 23:05
reve reve ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 34
reve is on a distinguished road
Default

ขออนุญาตขุดครับ

ข้อ 4 FE ทำไมผมได้ไม่เหมือนคุณ @นกกะเต็นปักหลัก เลยครับ
$f(0)$ ได้สองกรณีคือ 1,-1 ไม่ใช่หรอครับหรือผมคิดเลขผิด

ที่ผมได้คือ
$f(0)=1$ ขัดแย้ง ดังนั้น $f(0)=-1$
$P(x,-x)$ ได้ $f(x)f(-x)=f(-x^2)-2x^2+2$ แทน $x=1$ ได้ $f(-1)=0$ หรือ $f(1)=1$
$f(1)=1$ ได้คำตอบ $f(x)=2x-1$

ผมติดกรณ๊ $f(-1)=0$ ใครก็ได้ช่วยทีครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 20 มีนาคม 2017, 00:30
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ reve View Post
ขออนุญาตขุดครับ

ข้อ 4 FE ทำไมผมได้ไม่เหมือนคุณ @นกกะเต็นปักหลัก เลยครับ
$f(0)$ ได้สองกรณีคือ 1,-1 ไม่ใช่หรอครับหรือผมคิดเลขผิด

ที่ผมได้คือ
$f(0)=1$ ขัดแย้ง ดังนั้น $f(0)=-1$
$P(x,-x)$ ได้ $f(x)f(-x)=f(-x^2)-2x^2+2$ แทน $x=1$ ได้ $f(-1)=0$ หรือ $f(1)=1$
$f(1)=1$ ได้คำตอบ $f(x)=2x-1$

ผมติดกรณ๊ $f(-1)=0$ ใครก็ได้ช่วยทีครับ
ลองหา $f(1)$ ดูครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
[สอวน. สวนกุหลาบ 2557] ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2557 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย น้องเจมส์ ข้อสอบโอลิมปิก 7 05 พฤศจิกายน 2016 15:36
สอวน. ม.เกษตรศาสตร์ ค่าย1/2557 สอบครั้งที่1 ~!!Arale!!~ ข้อสอบโอลิมปิก 6 16 เมษายน 2015 16:49
งานหนังสือแห่งชาติ 2557 (15-26 ต.ค. 57) meepanda งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป 4 16 ตุลาคม 2014 08:52
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น 22 16 ธันวาคม 2013 09:56
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) gon ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 1 10 พฤศจิกายน 2013 04:56

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:57


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha