|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
|||
|
|||
ไหน ๆ ก็ไหน ๆ ขอแจมโจทย์ง่าย ๆ ซัก 2 ข้อ ลองทำฝึกลับสมองดูนะครับ
จงหา $S_n$ ของอนุกรม 1. $\frac{1}{1} +\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+... = ?$ (โจทย์กำหนดมาให้ 4 พจน์แรกนะครับ) 2. 1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+(10+11+12+13+14+15+16)+... = ? (โจทย์กำหนดมาให้ 4 พจน์แรกนะครับ) |
#17
|
|||
|
|||
น่าลองดีนี่ครับ
1. $S_n = \frac{12}{2n^{2}+3n+1}+\frac{4}{n+1}$ 2. $S_n = \frac{1}{12}\left(\,2n^{3}+6n^{2}+4n\right)$ ถ้าผิดพลาดประการใดขอคำชี้แนะด้วยครับ |
#18
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ข้อ 1. รู้สึกว่าเคยเป็นข้อสอบ A-NET ถ้าจำไม่ผิดนะครับ ให้ใช้ telescoping ช่วยด้วยครับ ข้อ 2. สังเกตดีๆ ครับ จะได้ว่า $s_1 = 1$ มี 1พจน์ $s_2 = 1+2+3+4 =10$ มี 4 พจน์ คือ $2^2$ $s_3 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45$ มี 9 พจน์ คือ $3^2$ $s_4 = 1+2+3+...+16 =136$ มี 16 พจน์ คือ $4^2$ ... $s_n =1+2+3+...+n^2 =....$ มันก็คือผลบวกตั้งแต่ ...ถึง... ดังนั้นคำตอบก็คือ... |
#19
|
|||
|
|||
อ่าครับ คิดยังไงครับ ช่วยทำให้ดูทีครับ
|
#20
|
||||
|
||||
ข้อ1 ลองหา $a_n$ แล้ว take zigma สิครับ
ข้อ2 คิดว่าที่คุณหยินหยางแนะไว้ก็ัชัดมากแล้ว ลองคิดดูเองก่อนครับ หรือแสดงวิธีคิดมาก็ได้ครับ จะได้ช่วยกันดูว่าทำตรงไหน หาอะไรผิดมันจะดีกว่าไหมครับ
__________________
I am _ _ _ _ locked 08 ธันวาคม 2008 21:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
#21
|
|||
|
|||
1.$a_n = \frac{1}{1+2+3+...+n}$
=$\sum_{i = 1}^{n}a_n$ =$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+2+3+...+n}$ =$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\frac{i}{2}\left(\,i+1\right)}$ =$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2(i^{2}+i)}$ =$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(i^{2}}+\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}$ =$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)}+\frac{1}{\frac{n}{2}(n+1)}\right)$ =$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}+\frac{1}{\frac{n^{2}+n}{2}}\right)$ $S_n=\frac{1}{\frac{2n^{3}+6n^{2}+4n}{6} }$ ได้อย่างนี้ ถูกต้องหรือปล่าวครับ 09 ธันวาคม 2008 20:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Marskoto |
#22
|
|||
|
|||
กลับไปนั่งคิดมาหลายชั่วโมงเหมือนกันครับ เปิดๆหนังสือไปก็พอนึกได้อย่างนี้ เลยลองทำ ไม่รู้ว่าถูกหรือปล่าวนะครับ ถ้าผิดก็ขอคำชี้แนะที่ถูกต้องด้วยนะครับ
1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+(10+11+12+13+14+15+16+17)+.... ผมก็ลองดูว่า พจน์แรกมี 1 พจน์ที่ 2 มี 3 ก็ได้ พจน์สุดท้าย คือ 2n-1 แต่ก็รู้สึกว่าซับซ้อนมากครับ ก็ลองทำต่อเล่นๆครับ $ S_nพจน์ =\sum_{i = 1}^{n}a_nพจน์$ =$\sum_{i = 1}^{n}2i-1$ =$2\sum_{i = 1}^{n}i-\sum_{i = 1}^{n}1$ =$2(\frac{n}{2}(n+1))-n$ $S_nพจน์=n^{2}$ ก็ทำต่อเลยสิครับ $S_n=\sum_{i = 1}^{n}i^{2}$ $=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$ $S_n =\frac{1}{6}(2n^{3}+3n^{2}+n)$ |
#23
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ต้องใช้เทคนิคเทเลสโกปิค(Telescopic) เพื่อทำให้ผลคูณเป็นผลต่าง ก็คือ $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} $ จากนั้นค่อยกระจายซิกม่าเข้ามาได้ครับ ไปกันใหญ่แล้วครับ ต้องทำความเข้าใจใหม่ $a_n$ หมายถึงค่า a ในลำดับใดๆพจน์ที่ n ไม่ได้หมายถึง จำนวนพจน์ ใน $a_n$ ว่ามีกี่พจน์ นะครับ
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#24
|
|||
|
|||
อ๋อครับ ขอบคุณมากนะครับ
ต่ออันที่ผิดนะครับ =$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i+1}$ =$\frac{1}{2}\left(\,\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)}-\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)+n } \right)$ =$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{\frac{3n+1}{2} } \right)$ =$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{3n+1}$ =$\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}$ =$\frac{2n}{3n^{2}+4n+1}$ ส่วนข้อ 2 ทำตามคุณหยินหยางใบ้ให้ครับ $S_n = \sum_{i = 1}^{n}i^{2}$ $=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$ $=\frac{n}{6}(2n^{2}+3n+1)$ $=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}$ ใช้หรือปล่าวครับ แต่ได้คำตอบเหมือนที่ผมเคยคิดไว้อ่ะครับ |
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ข้อ1 . ผิดตั้งแต่แรกเลยครับ ขอเริ่มว่าจากโจทย์เราจะพบว่าพจน์ที่ $a_n=\frac{1}{\frac{i(i+1)}{2} } = {\frac{2}{i(i+1)} }$ จากตรงนี้เราจะสังเกตได้ว่าพจน์ที่ว่าสามารถแยกได้เป็น $2( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} )$ ต่อจากนี้เราก็จะใช้หลักการของ telescoping คือการเขียนผลบวกที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบที่ขยายแล้วพจน์ตัดกันจนเหลือไม่กี่พจน์ ลองดูตัวอย่างนี้ $a_1 = 2( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} )$ เมื่อ $i =1$ $a_2 = 2( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$ เมื่อ $i =2$ $a_3 = 2( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} )$ เมื่อ $i =3$ ... $a_n = 2( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$ เมื่อ $i =n$ โจทย์ถาม $S_n$ ก็คือเอา $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ ซึ่งเห็นว่าพจน์จะมีการตัดกันเหลือเพียง $2( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} ) = \frac{2n}{n+1}$ บรรทัดข้างล่างเขียนให้ดูชัดๆอีกที $2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2})+ ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )+...+( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )]$ วิธีการนี้แหละเรียกว่าใช้หลักการของ telescoping ส่วนข้อ 2 ผมว่าผมอธิบายละเอียดแล้วนะ ลองกลับไปดูอีกครั้ง ต้องเข้าใจซะก่อนว่าโจทย์เค้าอุตส่าห์เขียนไว้เพื่อให้คนทำสังเกตได้ง่าย ถ้าเปลี่ยนใหม่ให้ยากขึ้นโจทย์จะกำหนดอย่างนี้ครับ ลำดับชุดหนึ่งเป็นดังนี้ คือ $1,9,35,91,... .$ ให้หา $S_n$ คนทำต้องสังเกตเองครับว่า $a_1 = 1$ $a_2 = 2+3+4 =9$ $a_3 = 5+6+7+8+9 =35$ .... $a_n = ......$ หลังจากนี้ไปดูข้อความของผมต่อนะครับ และถ้าเข้าใจการหาผลบวกของลำดับเลขคณิต จาก 1 ถึง n ละก็ไม่น่ามีปัญหาครับเพราะเปลี่ยนจากถึง $n$ มาเป็น $n^2$ |
#26
|
||||
|
||||
1. อยากให้คิดว่า $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
10 ธันวาคม 2008 22:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ [SIL] เหตุผล: แก้ไขโค้ดผิดปกติ |
#27
|
||||
|
||||
ข้อ 2 ผมลองใช้วิธีหาพจน์แรกของตัวที่ n และพจน์สุดท้ายของตัวที่ n เอาครับแล้วยัดซิกมาเข้าไป ถ้าคำตอบถูกนะครับ
$\frac{n}{2}(n+1)(n^2-n+2)-n$ ลองแทน1,2,3 แล้วโอเคครับ |
#28
|
|||
|
|||
งั้นข้อ 1. มันก็ได้$a_n = \frac{1}{\frac{n}{2}(n+1)}$ใช่หรือปล่าวครับ
ข้อ 2. ผมลองใช้วิธีโบราณอ่ะครับ $a+b+c = 1$ $4a+2b+c = 9$ $9a+3b+c =35$ ได้$a_n = 9n^{2}+11n+3$ แล้ว take Sigma ต่อครับ ได้คำตอบ $3n^{3}-n^{2}-n$ |
#29
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
และที่คุณ หยินหยาง บอกว่า "ต้องถามตัวเองก่อนว่าตอนนี้เราอยู่ตรงไหน จะได้รู้ว่าต้องทำอีกเท่าไร ดังนั้นลองหยิบข้อสอบเก่าแล้้วจับเวลาดูว่าได้คะแนนเท่าไร เอา 2 ปีหลังก่อนเลยครับ พอทำเสร็จก็มาดูว่าข้อที่ผิด ผิดเพราะอะไร หาสาเหตุให้เจอ เช่นคำนวณผิดหรือ ไม่รู้เรื่องเลย เป็นต้น เพราะแต่ละปัญหาก็จะแก้ไม่เหมือนกัน ส่วนข้อที่ถูกก็ดูด้วยครับว่าที่ถูกนะฟลุคหรือเปล่า แนวทางที่เฉลยกับของเราคิดแตกต่างกันหรือไม่เพราะเหตุใด อันนี้ช่วยได้เยอะเหมือนกันในเรื่องของเทคนิคหรือการประยุกต์ใช้ในการทำข้อสอบ เมื่อเรารู้ว่าตอนนี้อยู่ตรงไหนแล้วก็จะได้แก้ได้ถูก อย่างน้อยๆ ตอนนี้เรื่องทุกเรื่องในชั้น ม.4-6 ต้องรู้เรื่องและเข้าใจเป็นอย่างดีแล้วครับเพราะเท่าที่ดูข้อสอบจะเน้นเชิงวิเคราะห์และทักษะกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งต้องอาศัยปร ะสบการณ์ในการทำโจทย์พอสมควร เวลาที่หลือต่อนี้ไปคงเน้นการทำโจทย์เป็นหลักแต่ถ้ายังต้องมาทำความเข้าใจกับเรื่องที่เรียนไปแล้วละก็ เหนื่อยครับเป้า 70 ไม่ง่ายครับ เอาใจช่วยครับ ผมรู้จัก พนักงานขายตรงสินค้ายี่ห้อหนึ่ง เขามีคติประจำใจคือ ฝันให้ไกลไปให้ถึง และทุกวันนี้เขาก็ประสบความสำเร็จครับเพราะเขาใช้ความฝันเป็นแรงผลักดันครับ" ก่อนอื่น เราต้องรู้จักความสามารถของตนเองในปัจจุบันก่อน แล้วปรับปรุงโดยการ ฝึกทำข้อสอบเก่าๆ แบบว่า ทำให้มาก ทำให้ชำนาญ วิเคราะห์ผลที่ได้พร้อมปรับลดข้อบกพร่อง โดยเน้นเฉพาะบางเรื่องที่จำเป็นจริงๆ(เพราะมีเวลาน้อย) และการเป้า 70 ต้องวางแผนเรื่องเวลา+บทเรียนให้ดี สมัยผมเรียน มีเพื่อนบางคนไม่ยอมทำในบางข้อ เพราะกลัวเสียเวลาจนเกินไป(เวลามีจำกัด) มีสาเหตุต่างๆเช่น ยากเกิน, ยาวเกินไป, ได้คำตอบไม่ตรง, งง เป็นต้น แต่ถ้าต้องการได้คะแนน 90-100 ก็ต้องเน้นทั้งหมด และต้องเร็วพอที่จะทำเสร็จทันเวลา โดยมีเทคนิคหลากหลายขึ้น โดยโจทย์ 1 ข้อต้องคิดทั้ง Forward และ Backward เพื่อตรวจสอบคำตอบทุกข้อ ตอนผมสอบ Ent' มีเพียงชุดเดียว 50 ข้อ 3ชั่วโมง - ผมมั่วไป 2 ข้อเพราะไม่ได้อ่านโจทย์(แบบว่าโจทย์มันยาวมากๆ) ผมชดเชยด้วยการไปเน้นที่การฝนเลขประจำตัวสอบ และฝนคำตอบให้ชัดเจนถูกต้อง ถูกข้อ(เช็คทุกๆ 7-10 ข้อ) เพราะบางครั้งเราอาจจะข้ามบางข้อไปก่อนจึงมีโอกาสที่จะฝนผิดข้อได้(ต้องระวัง) -- ข้อที่ทำได้จะต้องมีคะแนน ถ้าทำได้เกือบทุกวิชารับรองEnt' ติดแน่ๆ แล้วแต่ว่าจะเลือกคณะอะไร |
|
|