โจทย์น่าคิด ลองคิดดูนะครับ!

[kanji]

ผมมีโจทย์มาให้ชาว mathcenter ได้ลองคิดกันนะครับ

1. ถ้า \( k=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a} \) และ \( \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-a}+\frac{c}{c-b}=0 \) ค่าของ \(x\) จากสมการ \(x^{2}-kx+5-6k+k^{2}=0 \) มีค่าเท่าไร

2. มี \( k \) อยู่ 1 ค่า ซึ่งจะทำให้\( 5x^{2}+13xy-6y^{2}-7x+13y+k \) สามารถแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บได้ แล้ว \(k \) มีค่าเท่ากับเท่าไร

3. ถ้า \( 2^{x}=3^{y}=4^{z}=(24)^{m} \) แล้ว \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \) มีค่าเท่าไร

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ kanji:
2. มี \( k \) อยู่ 1 ค่า ซึ่งจะทำให้ \( 5x^{2}+13xy-6y^{2}-7x+13y+k \) สามารถแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บได้ แล้ว k มีค่าเท่ากับเท่าไร

ให้ \( 5x^{2}+13xy-6y^{2}-7x+13y+k = (5x+ay+c)(x+by+d)\)
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า 5b+a=13, ab=-6, 5d+c=-7, ad+bc=13, cd=k
แก้ระบบสมการจะได้ (a,b,c,d)=(-2,3,3,-2) หรือ (15,-2/5,-10,3/5)
ซึ่งทำให้ k=cd=-6 เพียงค่าเดียว
(แก้สมการได้สองคำตอบ แต่ได้ k ค่าเดียว อืม...)

ข้อความเดิมของคุณ kanji:
3. ถ้า \( 2^{x}=3^{y}=4^{z}=(24)^{m} \) แล้ว \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \) มีค่าเท่าไร

เคยเจอโจทย์นี้ในหนังสือเล่มนึง เก่ามาก... จำไม่ได้ว่าเขาคิดค่า m ด้วยหรือไม่ แต่ในที่นี้ถือว่า m เป็นค่าคงตัวละกัน (หากจะคิด m ด้วย ยังนึกไม่ออกครับ แต่ไม่น่ายาก)
จากโจทย์จะได้ \(2^{xyz}=24^{myz}\), \(3^{xyz}=24^{mxz}\), \(4^{xyz}=24^{mxy}\)
ซึ่งทำให้ xyz=m(xy+yz+zx) หรือ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{m}\)

ส่วนข้อแรก ขอให้ผู้ที่เชี่ยวชาญการคำนวณตัวแปร cyclic (เช่น เซียนอสมการทั้งหลาย)มาคิดละกันครับ ส่วนการคำนวณ x ทั้งสองค่าเป็นการคำนวณธรรมดาครับ

Edit1: มาดูอีกที ข้อแรกง่ายอย่างเหลือเชื่อ เนี่ยละน้า ยิ่งเรียนเยอะ ยิ่งมองอะไรลึกๆยากๆเกินกว่าที่ควรจะมอง แถมยังคิดเลขง่ายๆผิดอีก -_-'

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ kanji:

1. ถ้า \( \Large{ k=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a} } \) และ \( \Large{ \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-a}+\frac{c}{c-b}=0 } \) ค่าของ \(x\) จากสมการ \(x^{2}-kx+5-6k+k^{2}=0 \) มีค่าเท่าไร

\[ \Large{ k=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a} + \frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-a}+\frac{c}{c-b} = 3 } \]

[passer-by]

สำหรับข้อ 1
คำตอบที่สองของคุณ nongtum ถูกแล้วครับ แต่คำตอบแรก ต้องเป็น
(a,b,c,d)=(-2,3,3,-2) ซึ่งจะได้ k=cd= -6 เพียงค่าเดียวอย่างที่โจทย์ต้องการครับ

[nongtum]

จากความช่วยเหลือของคุณ nooonuii จะได้ x=4,-1 (ข้อนี้ใครตาดีได้ ตาร้ายเสียจริงๆ)

[kanji]

มีโจทย์มาให้คิดอีกนะครับ

4. จากสมการ \(x^{2}-2x+5=k \) และ k เป็นค่าที่น้อยที่สุดของ \(x^{2}-2x+5 \) และจากสมการ \(7+10x-x^{2}=c \) และ c เป็นค่าที่มากที่สุดของ \(7+10x-x^{2} \) ค่าของ \(k^{2}+2kc+c^{2} \) มีค่าเท่าใด

5. ถ้า x แปรผันตาม y+z และแปรผกผันกับ yz ถ้า x=1 เมื่อ y=2 และ z=3 ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=7 และ z=8

6. ถ้า x(x+1)(x+2)(x+3)+a เป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้ว a มีค่าเท่าใด

7. ถ้า \(3x^{4}-7x^{3}-4x^{2}-7x+3=0 \) ค่าของ \( x+\frac{1}{x} \) เท่ากับเท่าใด

8. ถ้าคำตอบของสมการ \(2x^{2}=x-3k \) มีเพียงคำตอบเดียวคือ \( a \) ค่าของ\( 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}} \) มีค่าเท่าใด

9.กำหนดให้ x+y+z=1 และ \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \)ค่าของ \( x^{2}+y^{2}+z^{2} \) มีค่าเท่าใด

10. มีเลขโดด 1 กี่ตัว เมื่อแปลง (3ด512)+(7ด64)+(5ด8)+3 เป็นเลขฐาน 2

[M@gpie]

ขออนุญาตไม่พิมละเอียดนะคับ ผิดถูกอย่างไร ก็บอกกันด้วยนะคับ
ข้อ 4. \( k=4 \ , \ c= 32 \) ดังนั้น \( k^2 +2kc +c^2 = 36^2\) (แก้ไขแล้วครับ คิดเลขเร็วไปนิดนึง)

ข้อ 6. พิจารณา \[ x(x+1)(x+2)(x+3) + a = (x^2+3x)(x^2+3x+2) +a = (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) +a \]
ดังนั้น เป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ \( a=1 \)

ข้อ 7. อาศัยการแยกตัวประกอบ โดยเอา \( x^2 \) หารตลอดก่อน จะได้\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} , -1 \)

ข้อ 8. ถ้า \( 2x^2 -x + 3k = 0 \) มีคำตอบเดียว แล้ว นั่นคือ \( k= \frac{1}{24}\) แก้สมการจะได้ \( x=\frac{1}{4} \)
ดังนั้น \( 1 +\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = 1+ 4+16+64 = 85 \)

ข้อ 9.\( x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+xz) = 1 - 0 = 1 \)

[kanji]

ข้อ 4 ถูกต้องครับ

ข้อ 6,7,8,9 ถูกต้องแล้วครับ

[nongtum]

5. จากโจทย์จะได้ \(x=k{(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\) ซึ่งจะได้ k=6/5 และ x=9/28 เมื่อ y=7 z=8

10. \(3\cdot512+7\cdot64+5\cdot8+3=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^3+2+1 \) นั่นคือ จะมี 1 เก้าตัวเมื่อเขียนเป็นฐานสอง

[nooonuii]

\[ \Large{(3)(512)+(7)(64)+(5)(8)+3 = 2^9(2+1) +2^6(2^2+2+1) + 2^3(2^2+1) + (2 + 1) = 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^3 + 2 + 1} \]

ดังนั้นจำนวนเลข 1 ในระบบฐานสองของจำนวนนี้ = จำนวนกำลังของสอง = 9

เอ้อ ส่งคำตอบช้ากว่าคุณ nongtum ง่ะ จะโดนครูตีมั้ยเนี่ยอิอิ

[kanji]

11. ถ้า \(2a+3b=1 \) แล้วค่าของ \(( 6a^{2}+13ab+6b^{2}+b-a)^{5} \) มีค่าเท่าไร

12. ถ้า \(\sqrt{x}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) \) แล้ว \( 6x+4\sqrt{6} \) มีค่าเท่าใด

13.กำหนดให้ x>0 และ \( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7 \) ค่าของ \( x^{5}+\frac{1}{x^{5}} \) มีค่าเท่าไร

14.\((16)^{20}\text{x}(25)^{40}\text{x}2^{5} \) มีทั้งหมดกี่หลัก

[kanji]

ข้อ 5 ,10 ก็ใช่แล้วครับ เก่งมากๆๆๆๆ

[nooonuii]

13.
\[ \Large{ x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3}) - (x+\frac{1}{x}) = 7(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)-(x+\frac{1}{x}) = 41(x+\frac{1}{x}) = 41\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2} = 123} \]

[nooonuii]

11. แยกตัวประกอบสามเทอมแรกแล้วจัดรูปจะได้คำตอบเท่ากับ 1
14. จัดรูปจะได้ 32(10)⁸⁰ จำนวนนี้จึงมี 82 หลัก

[kanji]

คำตอบของ คุณ nooonuii ข้อ 13 ยังไม่ถูกนะครับ

เครื่องหมาย - ตรง \( \Large{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2}} \) ผิดนะครับ ต้องเป็นเครื่องหมาย + จริงมั้ยครับ

ข้อ 11,14 ถูกต้องแล้วครับ