จำนวนเต็ม 3 ตัวที่ผลบวกและผลต่างเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง

[nongtum]

เล่มที่คุณ Switchgear ระบุมาหาโหลดได้ง่ายมากครับ ค้นครั้งเดียวเจอ
แต่สงสัยจังครับว่าไปค้นโจทย์พวกนี้ และโจทย์อื่นๆที่กระจายในกระทู้อื่นจากไหนครับ หรือว่าใช้วิํธีเดียวกัน

[Switchgear]

ผลงานการแก้ Diophantine Problems โดยฝีมือ Euler มักจะปนอยู่ในตัวอย่างหรือแบบฝึกหัดท้ายบทของหนังสือ
Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael ที่ผมแนะนำไปแล้ว

ใครอยากเป็น Diophantist ฝีมือเยี่ยม ก็ต้องฝึกจากตำราที่เจาะลึกกว่าตำราทั่วไปหน่อย จริงไหมครับ
.

[Switchgear]

สวัสดีครับคุณ nongtum นานๆ จะเข้ามาเล่นพร้อมกันซะที

สำหรับโจทย์โหดหินในกระทู้ต่างๆ ที่ผมโพสต์ช่วงนี้ รวมทั้ง Cambridge Math Tripos ที่บ้าสุดๆ นั้น เกือบทุกเล่มค้นหาจากเน็ต
เพียงแต่ต้องอึดหน่อยตรงที่ว่าหลายเล่มที่หามานั้น ชื่อหนังสืออาจไม่สื่อถึงโจทย์เหล่านี้ อาศัยฟลุ๊กก็ว่าได้ ที่ Download
มาแล้วนั่งเปิดดูสารบัญและเนื้อหาเล่นๆ บังเอิญเจอ "เพชรน้ำดี" ซ่อนไว้ในหนังสือพวกนี้ ก็เลยเจียระไนให้งดงาม แล้วนำมาโพสต์
ในเว็บสุดหรูทางคณิตศาสตร์แห่งนี้
.

[Timestopper_STG]

ขอนอกเรื่องนิดนึงนะครับผมมีสงสัยว่าพวกโจทย์ที่ให้หา"ทั้งหมด"เนี่ยครับ
เราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าเราหาครบทุกอย่างแล้วอย่างเช่นพวกสมการเชิงฟังก์ชัน
หรือไม่ก็พวกสมการDiophantineพวกนี้หน่ะครับละผมยิ่งงงเข้าไปอีกเพราะบางที
เวลาอ่านเฉลยโจทย์พวกนี้เขาหามาเฉยๆไม่เห็นจะพิสูจน์ไว้ให้ดูเลยว่าไม่มีตัวอื่นแล้ว

[Switchgear]

น้อง Timestopper_STG สงสัยถูกต้องแล้วครับ

พวกสมการเชิงฟังก์ชันหลายตำรากล่าวถึง Tame Solution กับ Wild Solution ซึ่งหนังสือทั่วไปสอนแค่วิธีหา Tame Solution

ส่วนสมการ Diophantine ก็ขึ้นอยู่กับการสมมติตั้งต้นว่าต้องการคำตอบความสัมพันธ์แบบไหน มีแต่โจทย์พื้นๆ ที่สามารถรู้
Solution ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่โจทย์หินจริงๆ นั้น แค่หาให้ได้ซักคำตอบเพื่อให้หายข้องใจว่ามีคำตอบหรือไม่ ก็ยากแล้วครับ

[Switchgear]

มาแล้วครับเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ First solution ซึ่งจะให้คำตอบเป็น $x = 434657, y = 420968$ และ $z = 150568$
ตามที่ผมเคยบอกไว้ในความเห็นที่ 4 มาดูกันครับว่า Euler หาตัวเลขชุดนี้ออกมาได้อย่างไร ?


โจทย์ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, \;y$ และ $z)$ ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$\;\;\; x+y,\; x+z,\; y+z,\; x-y,\; x-z,\; y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

เฉลยแบบ First solution

$\;\;\;$ สมมติให้ $\;\; x-y = p^2,\;\; x-z = q^2,\;\; y-z = r^2;$
เพราะฉะนั้น $\;\;\; y = x-p^2,\;\; z = x-q^2,\;$ และ $\;q^2 = p^2+r^2.$

$\;\;\;$ ผลบวกที่ต้องการทั้งสามคู่คือ $ x +y = 2x-p^2,\;\; x+z = 2x-q^2,\;\; y+z = 2x-p^2-q^2.$

$\;\;\;$ กำหนดให้ $\;\; 2x-p^2-q^2 = t^2,\;\;$ จะได้ $\;\; 2x = t^2+p^2+q^2; \;$ นั่นคือเราจะต้องทำให้ $\;\; t^2+q^2 \;$ และ $\;\; t^2+p^2$
เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง โดยที่ $\;q^2 = p^2+r^2$ ตามเงื่อนไขข้างต้น

$\;\;\;$ ให้ $\;\; q = a^2+b^2,\;\; p = a^2-b^2,\;\; r = 2ab;$
ดังนั้น $\; t^2+(a^2+b^2)^2 = t^2+a^4+b^4+2a^2b^2 \;$ และ $\; t^2+(a^2-b^2)^2 = t^2+a^4+b^4-2a^2b^2$
จึงต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ คราวนี้เราลองเปรียบเทียบ $\;t^2+a^4+b^4$ กับ $\;c^2+d^2$ และ $\;2a^2b^2$ กับ $\;2cd,$
สมมติให้ $cd = a^2b^2 = f^2g^2h^2k^2,\;\; c = f^2g^2,\;\; d = h^2k^2,\;\; a^2 = f^2h^2,\;\; b^2 = g^2k^2 \;(a = fh,\;\; b = gk);$
ทำให้ข้อสมมติที่ว่า $\;\; t^2+a^4+b^4 = c^2+d^2$ กลายเป็น $\;\; t^2+f^4h^4+g^4k^4 = f^4g^4+h^4k^4,$
หรือได้ว่า $\;\; t^2 = f^4g^4-f^4h^4+h^4k^4-g^4k^4 = (f^4-k^4)(g^4-h^4).$

$\;\;\;$ มาถึงตอนนี้โจทย์ของเรากลายเป็น การหาผลต่างของจำนวนเต็มยกกำลังสี่สองคู่ คือ $\;(f^4-k^4)\;$ และ $\;(g^4-h^4)\;$
ซึ่งเมื่อคูณกันแล้วจะกลายเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ Euler แก้ปัญหานี้ด้วยการสร้างตารางหาค่า $m^4-n^4 = (m^2+n^2)(m^2-n^2)\;$ โดยไล่ตั้งแต่ $m^2 = 2^2,3^3,...,15^2$
และ $n^2$ ที่มีค่าน้อยกว่า $m^2\;$ จากนั้นก็เลือกคู่ของ $m^4-n^4$ ในตารางเพื่อให้ได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง
(หมายเหตุ: ผมพิมพ์ตารางในกระทู้ไม่ถนัด แต่คิดว่าผู้อ่านคงสร้างเองใน Excel ได้ไม่ยาก)

$\;\;\;$ ผลลัพธ์หนึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $\; f^2 = 9,\; k^2 = 4,\; g^2 = 81,\; h^2 = 49 \;$ ซึ่งจะได้ว่า
$\;\;\;\;\;\;\;\; t^2 = (f^4-k^4)(g^4-h^4) = (5\cdot13)(64\cdot5\cdot13) = (520)^2 = 270400.$
เพราะฉะนั้นจึงได้ $\;a = fh = 21,\; b = gk = 18,\; p = a^2-b^2 = 117,\; q = a^2+b^2 = 765,\; r = 2ab = 756;$
ทำให้ $\; 2x = t^2+p^2+q^2 = 869314$ หรือ $\; x = 434657,\;\; y = x-p^2 = 420968,\;\; z = x-q^2 = -150568.$

$\;\;\;$ จำนวนตัวสุดท้ายคือ $z$ สามารถใช้ค่าบวกแทนได้ ซึ่งก็แค่ทำให้ผลต่างกลายเป็นผลบวก และผลบวกกลายเป็นผลต่างเท่านั้นเอง
สรุปแล้วจะได้ชุดคำตอบที่ต้องการคือ $\; x = 434657,\;\; y = 420968,\;\; z = 150568.$

$\;\;\;$ เราสามารถทดสอบคำตอบได้โดยตรวจสอบกับเงื่อนไขของโจทย์ ดังนี้
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; x+y = 855625 = (925)^2,\;\;\; x-y = 13689 = (117)^2,$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; x+z = 585225 = (765)^2,\;\;\; x-z = 284089 = (533)^2,$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; y+z = 571536 = (756)^2,\;\;\; y-z = 270400 = (520)^2.$

$\;\;\;$ อันที่จริงแล้วยังมีคำตอบอื่นที่ค้นหาได้จากตาราง $m^4-n^4\;$ อีกหลายชุด ใครสนใจก็ลองสร้างตาราง แล้วค้นหาเพิ่มเติมได้


เป็นอย่างไรบ้างครับ ขั้นตอนการแก้โจทย์ของ Euler ซับซ้อนซ่อนเงื่อนขนาดไหน
_

[Switchgear]

กว่าจะพิมพ์เฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ First solution จนจบ ก็เล่นเอาผมเหนื่อยเหมือนกัน นี่แหละครับเหตุผลที่ทิ้งไว้ตั้งหลายวัน

แต่ที่แย่กว่านั้นคือเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ที่จะให้คำตอบเป็นสมการทั่วไป ยิ่งพิมพ์ยากกว่านี้ซะอีก

_

[Switchgear]

เดี๋ยวจะรีบหาเวลามาเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ที่จะให้คำตอบเป็นสมการทั่วไป
แล้วจะเห็นว่าวิธีคิดแบบ First Solution ดูอ่อนไปเลย

เข้าใจว่ากว่า Euler จะคิด Second solution ออก ต้องใช้เวลาหลายปีหลังจาก First Solution
ฉะนั้นมันยิ่งไม่ง่ายที่คนทั่วไปอย่างเราจะคิดออกได้ง่ายๆ ... จริงไหมละครับ

[Switchgear]

มาลองดูเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ซึ่งจะให้คำตอบตามที่บอกไว้แล้วในความเห็นที่ 12


โจทย์ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, \;y$ และ $z)$ ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$\;\;\; x+y,\; x+z,\; y+z,\; x-y,\; x-z,\; y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้


เฉลยแบบ Second solution

$\;\;\;$ เราสามารถทำให้ $x+y$ และ $x-y$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองได้โดยสมมติให้ $x = p^2+q^2,\; y = 2pq$
ในทำนองเดียวกัน $x+z$ และ $x-z$ จะเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองเมื่อเราให้ $x = r^2+s^2,\; z = 2rs$
$\;\;\;$ เงื่อนไขทั้งสี่ประการเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ $p^2+q^2 = r^2+s^2$

$\;\;\;$ คราวนี้เราให้ $x = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ ซึ่ง $x$ สามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนยกกำลังสอง 2 แบบได้ เมื่อ
$\;\;\;\;\;\;$ $p = ac + bd,\;\; r = ad + bc,\;\; q = ad - bc,\;\; s = ac - bd$
และจะได้ $\;\; y = 2pq = 2(a^2cd+abd^2-abc^2-b^2cd),\;\; z = 2rs = 2(a^2cd+abc^2-abd^2-b^2cd)$
ทำให้ $\;\; y+z = 4cd(a^2-b^2),\;\; y-z = 4ab(d^2-c^2)$ ซึ่งเราต้องทำให้ 2 สมการหลังเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เริ่มต้นโดยทำให้ผลคูณคือ $y^2-z^2$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองก่อน หมายความว่า $ab(a^2-b^2)\cdot cd(d^2-c^2)$
ต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เพื่อให้เกิดผลดังกล่าวได้ เราสมมติว่า $cd(d^2-c^2) = n^2ab(a^2-b^2)$ และเนื่องจากโจทย์ตอนนี้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์
ระหว่างคู่ของ $a,\;b$ กับ $c,\;d$ ดังนั้นจึงสมมติให้ $d = a$ จึงได้สมการเป็น $c(a^2-c^2) = n^2b(a^2-b^2)$ เมื่อจัดรูปใหม่จะได้
$a^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ ซึ่งเศษส่วนนี้จะต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ สมมติว่า $a = b-c$ ทำให้ $b^2-2bc+c^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ จัดรูปได้เป็น $\frac{b}{c} = \frac{n^2+2}{2n^2+1}$ กำหนดให้ $b = n^2+2$
และ $c = 2n^2+1$ เพราะฉะนั้นจะได้ $a = 1-n^2 = d$

$\;\;\;$ ตอนนี้เราทำให้ผลคูณ $ab(d^2-c^2)\cdot cd(a^2-b^2)$ เป็นกำลังสองได้แล้ว เหลือแค่ทำให้แต่ละส่วนเป็นกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เนื่องจาก $ab(d^2-c^2) = ab(d-c)(d+c) = 3n^2(n^2-1)(n^2+2)^2$ แปลว่า $3(n^2-1)$ ต้องเป็นกำลังสอง
ซึ่งก็ไม่ยากเพราะว่า $n^2-1$ แยกตัวประกอบได้ เราแค่ให้ $3(n^2-1) = \frac{f^2}{g^2}(n+1)^2$ ซึ่งจะได้ $n = \frac{f^2+3g^2}{3g^2-f^2}$

$\;\;\;$ ตอนนี้เงื่อนไขทุกอย่างครบถ้วนหมดแล้ว นั่นคือเราสามารถหาค่า $a,\;b,\;c,\;d$ ได้ในรูปของ $f,\;g$ ดังต่อไปนี้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = 1-n^2 = -\frac{12f^2g^2}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; b = n^2+2 = \frac{3f^4-6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; c = 2n^2+1 = \frac{3f^4+6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2}$
$\;\;\;$ เนื่องจากส่วนของทุกตัวเหมือนกันหมด เราสามารถคูณตลอดด้วยตัวส่วน และหาร 3 ก็จะได้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = -4f^2g^2, b = f^4-2f^2g^2+9g^4, c = f^4+2f^2g^2+9g^4$

$\;\;\;$ จากนั้นก็แทน $a,\; b,\; c,\; d$ เพื่อหา $p,\; q,\; r,\; s$ โดย $p = ac+bd,\; q = ad-bc,\; r = ad+bc,\; s = ac-bd$

$\;\;\;$ สุดท้ายก็แทนค่าหา $x,\; y,\; z$ โดย $x = p^2+q^2,\; y = 2pq,\; z = 2rs$ ... เป็นอันเสร็จสิ้นการหาสมการทั่วไปที่ต้องการ

_

[Switchgear]

ผมเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second Solution จบไปแล้ว

เพื่อนๆ อ่านแล้วเป็นยังไงบ้าง ... คอยติดตามเฉลยข้อที่เหลือต่อไปว่าจะซับซ้อนมากน้อยแค่ไหน
.

[Switchgear]

แวะมาเพิ่มโจทย์ให้อีกซักข้อ ... โจทย์สั้นๆ แต่ ...

ข้อ 4:
จงแก้สมการเพื่อหาคำตอบทั่วไปของ $x^3+y^3+z^3 = v^3$
.

[Switchgear]

สังเกตว่าคำตอบทั่วไปในความเห็นที่ 24 ก็ยังไม่ได้ครอบคลุมคำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้ของโจทย์ดังกล่าว
แต่ว่าเป็นสมการที่ให้ชุดคำตอบได้มากมายเท่านั้นเอง

จากเฉลยที่ผ่านมาคงตอบคำตอบน้อง Timestopper ได้ในส่วนหนึ่ง เพราะว่าการหาคำตอบให้ครบหมด
จริงๆ คงยากมากสำหรับ Diophantine ที่ซับซ้อนแบบนี้ นั่นคือยังไงเราก็ต้องสมมติคำตอบแค่บางแบบ
แล้วก็แก้หาผลลัพธ์ที่ตรงกับแบบนั้นๆ
.

[Switchgear]

มาเพิ่มโจทย์ส่วนที่เหลือกันดีกว่า


ข้อ 5:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่แตกต่างกัน $(x, y, z)$ ซึ่ง $x^2-y^2,\; x^2-z^2,\; y^2-z^2$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

ข้อ 6:
จงหาจำนวนเต็ม $5$ ตัวที่แตกต่างกัน ซึ่งผลคูณของแต่ละคู่บวกด้วยหนึ่งเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

ข้อ 7:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่แตกต่างกัน $(x, y, z)$ ซึ่ง $xy+x+y,\; xz+x+z,\; yz+y+z$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง
.

[Switchgear]

ย้อนกลับมาดูกระทู้ของตัวเอง ... โพสต์โจทย์ไว้ตั้ง 7 ข้อ แต่เฉลยไปแค่ข้อเดียวเอง

คงต้องรีบหาเวลามาเฉลยข้อที่เหลือเร็วๆ เผื่อว่าคนที่คิดออกแล้ว จะได้เอาไปเช็คคำตอบได้

[Timestopper_STG]

โห...ไม่ได้เปิดดูนานพอเห็นความยาวของSolutionก็ใจอ่อนละครับ