โจทย์สามเหลี่ยมฝากช่วยคิดครับ

[Yo WMU]

โจทย์คือ รูปสามเหลี่ยม ABC รูปหนึ่ง มีส่วนสูงที่ลากจากจุดยอด A, B และ C ยาวเท่ากับ a, b และ c ตามลำดับ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ

$ 1) \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)^2 < \frac{1}{c^2} $
$ 2) (a-b)^2 < c^2 $
$ 3) \frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} $
$ 4) a^2 < b^2 + c^2 $


ฝากช่วยแนะนำวิธีคิดครับ ขอบคุณครับ

[artty60]

รูปสามเหลี่ยมใดๆ ผลรวมความยาวสองด้านจะมากกว่าด้านที่3

ข้อ4. ตัดทิ้งไปได้เลย

[Puriwatt]

ผมชอบข้อ.1 ครับ
กำหนดให้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A, B และ C มีขนาด a', b' และ c'
2×พท. สามเหลี่ยมABC = aa' = bb' = cc' = M
จะได้ว่า a' = M/a, b' = M/b' และ c' = M/c
และผลรวมของความยาวด้านสองด้านจะมากกว่าความยาวขางด้านที่ 3
ดังนั้น a' < b' + c' หรือ a'-b' < c' จะได้ว่า $(a'-b')^2 < c'^2$ หรือ $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2 < (\frac{1}{c})^2$

[Amankris]

ข้อนี้ น่าสนใจตรงที่ต้องแสดงว่า ตัวเลือกอื่นใช้ไม่ได้ ด้วยครับ

[Puriwatt]

ข้อ 2. กรณีสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีอัตราส่วนของด้านเป็น 1:2:2 จะมี a:b:c = 2:1:1 ได้ a-b = c ทำให้เป็นเท็จ
ข้อ 3. กรณีสามเหลี่ยมมุมฉากที่ A = 90° LH = RH จะทำให้เป็นเท็จ
ข้อ 4. กรณี a = 2b และ c = b จะทำให้อสมการนี้เป็นเท็จ
แบบว่าขี้เกียจพิสูจน์ เลยใช้วิธีหาข้อจำกัดที่ทำให้เป็นเท็จแทน
ตอนแรกงงว่าจะวาดรูปให้ได้อย่างไร เพราะใช้มือถือ คิดออกแล้วครับ(ถ่ายรูป)

[Amankris]

เยี่ยมเลยครับ

คนส่วนมากมักจะไม่ค่อยสนใจตรงนี้เท่าไร ทั้งๆที่เป็นสิ่งที่ต้องทำเช่นกัน

[artty60]

ไม่ทราบว่ามีตัวเลือกที่5รึเปล่าครับ คือไม่มีข้อใดถูก


ตัวเลือกที่1ก็มีกรณึไม่จริง คือ สามเหลี่ยมมุมฉากที่ทำให้ $b<c<<<<<a$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ไม่ทราบว่ามีตัวเลือกที่5รึเปล่าครับ คือไม่มีข้อใดถูก


ตัวเลือกที่1ก็มีกรณึไม่จริง คือ สามเหลี่ยมมุมฉากที่ทำให้ $b<c<<<<<a$

ต้องขอดูรูปตัวอย่างแล้วละครับ

[artty60]

ขอโทษครับ ผมดูไม่รอบคอบเอง ตัวเลือกหนึ่งถูกแล้วครับ