สพฐ.รอบ 2 ปี 2552

[pont494]

ถ้า $\frac{108}{997} <\frac{m}{n} <\frac{110}{999}$ เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าน้อยที่สุดของ m+n เป็นเท่าไร

[math magic]

$\frac{108}{997}$ $\frac{999}{999}$ <$\frac{m}{n}$<$\frac{110}{999}$
$\frac{(110-2)(997+2)}{(997)(999)}$ < $\frac{m}{n}$ < $\frac{110}{999}$
$\frac{110(997)-1778}{(997)(999)}$ <$\frac{m}{n}$ < $\frac{110}{999}$
$\therefore$ $\frac{m}{n}$ = $\frac{110(997)-t}{(997)(999)}$ เมื่อ t = 1-1777
ถ้าทำให้ไดค่าน้อยสุด t = 997 $\frac{m}{n}$ = $\frac{109}{999}$
ในทำนองดียวกัน
$\frac{m}{n}$ =$\frac{110(997)-s}{997(999)}$ เมื่อ s = 1-1997
เลือก s = 999 $\frac{m}{n}$ =$\frac{109}{997}$
$\therefore$ m+n min = 109+997 = 1106

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

108/997 < 109/998 < 110/999

108/997 = 0.108325
110/999 = 0.11011

5/46 = 0.108696
ดังนั้น m = 5 , n = 46
ตอบ Min m + n = 5 + 46 = 51

ผมทำแบบนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math magic

$\frac{108}{997}$ $\frac{999}{999}$ <$\frac{m}{n}$<$\frac{110}{999}$
$\frac{(110-2)(997+2)}{(997)(999)}$ < $\frac{m}{n}$ < $\frac{110}{999}$
$\frac{110(997)-1778}{(997)(999)}$ <$\frac{m}{n}$ < $\frac{110}{999}$
$\therefore$ $\frac{m}{n}$ = $\frac{110(997)-t}{(997)(999)}$ เมื่อ t = 1-1777
ถ้าทำให้ไดค่าน้อยสุด t = 997 $\frac{m}{n}$ = $\frac{109}{999}$
ในทำนองดียวกัน
$\frac{m}{n}$ =$\frac{110(997)-s}{997(999)}$ เมื่อ s = 1-1997
เลือก s = 999 $\frac{m}{n}$ =$\frac{109}{997}$
$\therefore$ m+n min = 109+997 = 1106

แต่เฉลยเขียนแบบนี้ แบบไหนถูกครับ

[gnap]

อยากรู้เหมือนกันครับ
แต่ผมว่าน่าจะอันบนนะ เพราะ 51<1106 หนิครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

แต่แล้ว 5,46 มันมาจากไหนละครับ แล้วรู้ได้ไงว่าไม่มีต่ำกว่านี้

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

Solution without approximation.
$$\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}\leftrightarrow \frac{999}{110}<\frac{n}{m}<\frac{997}{108}\leftrightarrow 9+\frac{9}{110}<\frac{n}{m}<9+\frac{25}{108}$$
We have $$9<\frac{n}{m}<10\longleftrightarrow 9m<n<10m.$$
Thus $n$ can be expressed in $9m+x$ for $x \in \mathbb{N}$ and $0<x<m$.
We have $$\frac{9}{110}<\frac{x}{m}<\frac{25}{108}$$
$$\frac{110}{9}>\frac{m}{x}>\frac{108}{25}$$
$$\frac{110x}{9}>m>\frac{108x}{25}$$
but we want to find the minimum value of $m+n$, that is we want to find the minimum value of $m,n$ that satisties the equation.
Thus $x=1$ and $\displaystyle{\frac{110}{9}>m>\frac{108}{25}}$, and we get $\min(m)=5$.
From $n=9m+x$, we have $n=9\cdot 5 +1=46$.

$$\therefore \frac{m}{n}=\frac{5}{46}$$

Thus the minimum value of $m+n$ that satisfies the equation: $\displaystyle{\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}}$ is $m+n=5+46=51$
as desired ##.

มีคนเฉลยในบอร์ดนี้ไว้หลายครั้งเเล้วครับ

[pont494]

ขอบคุณครับ