เตรียมสอบสมาคมคณิตศาสตร์ (24 พ.ย.2556)

[Thgx0312555]

กำหนดให้ A,B เป็นสมาชิกของเซตของคน A เดินจากจุด (0,0) โดยเดินขึ้น หรือ ขวาทีละ 1 หน่วยเท่านั้น และโอกาสที่ A จะเลือกวิธีทั้งสองมีค่าเท่ากัน
B เดินจากจุด (5,7) โดยเดินซ้าย หรือ ล่างทีละ 1 หน่วยเท่านั้น และโอกาสที่ B จะเลือกวิธีทั้งสองมีค่าเท่ากัน (A,B เดินพร้อมกันและเดินทีละก้าว)
จงหาความน่าจะเป็นที่เขาทั้งสองจะเดินมาพบกัน

อีกสักข้อ
จงหาจำนวนนับ $m$ ที่มากที่สุด ซึ่ง ทำให้ $\dfrac{1+2a^2}{1+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a} \ge m \cdot \dfrac{2+a^2+b^2}{2+2a+2b}$ สำหรับทุก $a,b \ge 0$
(นี่ไม่ใช่โจทย์โอลิมปิก เป็นโจทย์ใช้ความรู้ไม่เกิน ม.ปลาย)

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ถ้า $x>0$ และ $1-\frac{6}{1+x} +\frac{15}{(1+x)^2} -\frac{28}{(1+x)^3} +...=\frac{16}{125} $ แล้วจงหาค่า $x$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

ถ้า $x>0$ และ $1-\frac{6}{1+x} +\frac{15}{(1+x)^2} -\frac{28}{(1+x)^3} +...=\frac{16}{125} $ แล้วจงหาค่า $x$

ถึกๆเอาหน่อยคับ ตอบ 3

ขออนุกรมข้อสุดท้ายคับ โพสเเต่อนุกรม = ='

กำหนดอนุกรม $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ มีผลบวก n พจน์เเรกเป็น $\frac{n}{2(n+2)}$
จงหาค่าของ $\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot a_n)$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

ถึกๆเอาหน่อยคับ ตอบ 3

ขออนุกรมข้อสุดท้ายคับ โพสเเต่อนุกรม = ='

กำหนดอนุกรม $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ มีผลบวก n พจน์เเรกเป็น $\frac{n}{2(n+2)}$
จงหาค่าของ $\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot a_n)$

$a_n=\frac{n}{2(n+2)}-\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}$

$$\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot a_n)$$

$$=\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{n+3} \cdot \frac{1}{(n+2)(n+1)})$$

$$=\lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k}( \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)})$$

$$=\frac{1}{2}[(\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4})+(\frac{2}{3 \cdot 4}-\frac{2}{4 \cdot 5})...]$$

$$=\frac{1}{4}$$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$f$ เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า

$xf(x)-f(1-x)=-1+x^2-x^3$

จงหา $f(2556)$

[Form]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$f$ เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า

$xf(x)-f(1-x)=-1+x^2-x^3$

จงหา $f(2556)$

$ x=2556 2556f(2556)-f(-2555)=-1+2556^2-2556^3 $ (1)
$ x=-2555 -2555f(-2555)-f(2556)=-1+2555^2+2555^3 $
$ f(-2555)=\frac{-1+2555^2+2555^3+f(2556)}{-2555}$
แทนใน (1) $ \frac{(2555)(2556)f(2556)-1+2555^2+2555^3+f(2556)}{2555}=-1+2556^2-2556^3 $
$ ((2555)(2556)+1)f(2556)=(-1+2556^2-2556^3)(2555)+1-2555^2-2555^3 $
$ f(2556)=\frac{(-1+2556^2-2556^3)(2555)+(1-2555^2-2555^3)
}{(2555)(2556)+1} $
จัดไปจัดมาได้ $ f(2556)=2-2556^2 $ หรือเปล่าครับ
คิดผิดขออภัย

[จูกัดเหลียง]

ผมขอเดาว่า $m=8$ ป่ะครับ

[Thgx0312555]

m=8 มากเกินไปครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ลองเดาๆ คิดว่าน่าจะ 2 ครับ

ปล. มั่วๆ นะครับ ฮ่าๆ

[จูกัดเหลียง]

2 แหละครับ
So i will show that $m=2$
The inequality is equivalent to $$\frac{1+2a^2}{1+b}+\frac{1+2b^2}{1+a}\ge \frac{2+a^2+b^2}{1+a+b}$$
$$\sum \frac{a^2}{1+b}\ge\frac{a^2+b^2}{1+a+b}\leftrightarrow \sum a^2(a/(1+b)(1+a+b))\ge 0$$
$$\frac{a+b}{1+a+b}+\sum \frac{a^2}{1+b}\ge \frac{2ab}{(1+a)(1+b)}+\sum\frac{a}{1+a}$$
จับมาบวกกันก็จะได้ตามต้องการครับ

[Thgx0312555]

ถูกแล้วครับ จริงๆอสมการข้อนี้ไม่ค่อย strong (เพราะให้ ม.ปลายทำ) ทำแบบนี้ก็ได้ครับ

$\dfrac{1+2a^2}{1+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a} \ge \dfrac{1+2a^2}{1+a+b}+\dfrac{1+2b^2}{1+a+b}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความน่าจะเป็นตอบ 1/36 หรือเปล่าครับ

==============================

จงแก้สมการ $x^2+(x-y)^2= 4(x^2+y^2)\sin^2 \dfrac{\pi}{10} $ เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริง

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่

$a^2+b^2+c^2+2abc=1$

$a\sqrt{(1-b^2)(1-c^2)}+b\sqrt{(1-a^2)(1-c^2)}+c\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}= \dfrac{3}{2}$

จงหาค่าของ abc

[จูกัดเหลียง]

มีเเค่ $x=y=0$ หรือป่าวอ่ะครับ

"ไม่เเน่ใจครับ"

Clearly that $y=0$ then $x=0$ thus if $y\not=0$ Let $t=\sin^2 \pi/10$
the fact $\sin \pi/10 <\dfrac{1}{\sqrt{5}}...1$

prove of 1

Let $\displaystyle\sin \frac{\pi}{10}\ge \frac{1}{5}$
so $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\ge \cos\frac{\pi}{10}=\sin\frac{4\pi}{10}=4\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{2\pi}{10}\ge \frac{4}{\sqrt{5}}\cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{2\pi}{10}$
Thus, $\displaystyle \frac{1}{2}\ge \cos\frac{\pi}{10}\cos\frac{2\pi}{10}=\frac{1}{2}(\cos \frac{3\pi}{10}+\cos\frac{\pi}{10})>\frac{1}{2}$ contradiction

so equality becomes $(2-t)x^2+(-2y-2yt)x+(1-t)y^2=0$
By the discreminant $x$ will be real if $((-2-2t)y)^2\ge 4(2-t)(1-t)y^2\leftrightarrow t\ge 1/5$
from $y\not =0\rightarrow y^2>0$ so we can devide it both sides
which contradiction so if $y\not =0$ $x$ cannot be real number

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ข้อความน่าจะเป็นตอบ 1/36 หรือเปล่าครับ

==============================

จงแก้สมการ $x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ เมื่อ x,y เป็นจำนวนจริง

$x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2= x^2+(y-x)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ อยู่ในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

ดังนั้น เป็นสมการวงกลมรัศมีเท่ากับขนาดของ $\sin \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$ จุดศูนย์กลาง $(0,x)$

แต่สังเกตว่า $x=0,y=0$ เป็นคำตอบของสมการ ดังนั้นวงกลมผ่าน $(0,0)$

จาก จุดศูนย์กลาง $(0,x)$ วงกลมผ่าน $(0,0)$ ดังนั้น รัศมีวงกลมเท่ากับขนาด $x$

จึงได้ว่า $\left|\,\sin \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2\right| = \left|\,x\right|$

หรือ $\sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2=x^2...(1)$



แทน สมการ $(1)$ ลงใน $x^2+(x-y)^2= \sin^2 \dfrac{\pi}{10} (x+y)^2$

$$x^2+(x-y)^2=x^2$$

$$(x-y)^2=0$$

$$x=y$$

แทนกลับลง (1);

$\sin^2 \dfrac{4\pi x^2}{10} =x^2$

ได้ $x=0$ เพียงค่าเดียวเป็นคำตอบของสมการ

แต่ $x=y$

ดังนั้น $x=0,y=0$ เป็นคำตอบของสมการเพียงคำตอบเดียว

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ผมขอโทษอย่างแรงครับพิมพ์โจทย์ตกไป

มีข้อใหม่เพิ่มให่