|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#3
26 มกราคม 2008, 01:55
|
|||
|
|||
ข้อความนี้ก็ยังไม่จริงสำหรับอนุกรมบวก เช่น
$$a_n=\cases{\frac{1}{n} & , n=k^2 \cr \frac{1}{n^2} & , n\neq k^2} $$ จะเห็นว่า $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\leq 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$ แต่ $\lim_{n\to\infty}na_n$ หาค่าไม่ได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 
|
|
#4
26 มกราคม 2008, 11:11
|
||||
|
||||
|
ถ้าเราบอกว่าอนุกรมอนันต์นั้น exists จะเหมือนกับ converges ใช่ไหมครับแล้วถ้า finite นี่หมายถึงว่าต้องหาค่าได้ด้วยเลยหรือว่าเหมือนกับ 2 อันแรกครับ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#5
26 มกราคม 2008, 22:09
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
$\sum a_n$ is finite $\sum a_n$ converges $\sum a_n$ exists ทั้งหมดนี้มีความหมายเหมือนกันว่าอนุกรม $\sum a_n$ ลู่เข้า ครับ คำว่าลู่เข้าหมายถึงอนุกรมมีค่าผลบวกเป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) ค่าผลบวกก็นิยามผ่านทางลิมิตของผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นๆครับ หลายคนมักจะสับสนเหมารวมเอาอนุกรมที่ลู่ออกบางประเภทมาเป็นอนุกรมลู่เข้าด้วย เช่น $$\sum a_n=\infty$$ จริงๆแล้ว $\infty$ ไม่ใช่จำนวนแต่อย่างใดเป็นแค่สัญลักษณ์ที่บ่งบอกว่า อนุกรมนี้มีค่าผลบวกย่อยมากขึ้นไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด 
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#9
01 กุมภาพันธ์ 2008, 11:12
|
|||
|
|||
|
ให้ $S_n$ เป็นลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้
เนื่องจากอนุกรมลู่เข้า $S_n$ จะเป็น Cauchy Sequence ใช้ความจริงอันนี้พิสูจน์ว่า 1. $2na_{2n}$ ลู่เข้าหา $0$ 2. $(2n+1)a_{2n+1}$ ลู่เข้าหา $0$ จาก 1 และ 2 จะได้ว่า $na_n$ ลู่เข้าหา $0$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#11
03 กุมภาพันธ์ 2008, 22:58
|
|||
|
|||
|
ใบ้เพิ่มให้อีกหน่อยครับ
สำหรับข้อ 1 ที่คุณ nooonuii hint ไว้ $$ S_{2n}-S_n = a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots a_{2n} \geq \underbrace{a_{2n}+a_{2n}+\cdots a_{2n}}_{n \,\,terms}=na_{2n} $$ แล้วลองคิดต่อว่า $ S_{2n}-S_n $ converges สู่ค่าใด สำหรับข้อที่ 2 ลองพิจารณาอสมการนี้และผลจากข้อ 1 ดูครับ $$ (2n+1)a_{2n+1} \leq \frac{2n+1}{2n}(2na_{2n}) $$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#13
05 กุมภาพันธ์ 2008, 23:16
|
|||
|
|||
|
เสริมนิดนึงครับ คือ สิ่งที่ได้พิสูจน์กันไปข้างต้นนี้ เรียกว่า Abel-Pringsheim theorem ครับ
จะเห็นได้ว่า ถ้า sequences เป็น positive nonincreasing และให้อนุกรม convergent แล้ว sequences ดังกล่าว จะ converge สู่ 0 เร็วกว่า $ \frac{1}{n}$ ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Sequences and Series Marathon | Timestopper_STG | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 161 | 01 พฤษภาคม 2015 16:45 |
| Series | ZiLnIcE | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 6 | 22 กุมภาพันธ์ 2013 11:22 |
| Convergent&Divergent | ZiLnIcE | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 12 | 15 สิงหาคม 2007 20:54 |
| ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 02 พฤศจิกายน 2006 05:35 |
| Series | intarapaiboon | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 02 ตุลาคม 2005 10:58 |
|
|
