โจทย์ฟังก์ชัน กสพท.

[Stupendous]

ให้ P(x) เป็นพหุนามที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็ม และ P(x)P(1/x)=P(x)+P(1/x) กำหนดให้ P(1/2)=7/8
จงหา P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

[not11]

$สมมติว่า p(x) = A + Bx + Cx^2 + ... ; A,B,C,... \in I$
$ดังนั้น p(\frac{1}{x}) = A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...$
$จะได้ P(x)P(1/x) = P(x)+P(1/x)$
$ (A + Bx + Cx^2 + ...)(A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...) = (A + Bx + Cx^2 + ...) + (A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...)$
$พิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x $

$A^2 + B^2 + C^2 + ... = 2A $
$นั่นคือ A^2 \leqslant 2A$
$จะได้ช่วง A คือ [0,2] $
$กรณี A=0$
$>> จะได้ P(x) = 0 ใช้ไม่ได้$
$ กรณี A=2$
$>> จะได้ B^2 + C^2 + ... = 0 >>> \therefore B=C=...=0$
$>> จะได้ P(x) = 2 ใช้ไม่ได้$

$\therefore A=1$
$แทนค่าในสมการ$
$1 + B^2 + C^2 + ... = 2 >>> B^2 + C^2 + ... = 1$
$นั่นคือ มีตัวแปรหนึ่งตัว=1,-1 นอกนั้น=0$
$\therefore P(x) = 1 \pm x^n$
$แทน x = \frac{1}{2} ; p(\frac{1}{2}) = 1 \pm (\frac{1}{2})^n >>> \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{2})^n เท่านั้น$
$(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} $
$\therefore n=3 $
$\therefore P(x) = 1 - x^3 โดย x \not= 0$
$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 5 - ( 1 + 8 + 27 + 64 + 125 ) = -220 $

[Jaez]

ขอบคุณคะ แต่ไม่เข้าใจคำเฉลยเลยอ่ะคะ ถามเป็นข้อ ๆ นะคะ

๑ ทำไมต้องพิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x
๒ ทำไม $ B^2 + C^2 + ... = 0 แล้ว B=C=...=0 $ได้ยังไงอ่ะคะ

ขอบคุณคำตอบในการไขกระจ่างคะ

[กิตติ]

การพิจารณาสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ไม่มี$x$ เพราะเวลากระจายผลคูณจากวงเล็บแล้วพจน์$x$ คูณกับ $\frac{1}{x} $ แล้วเหลือแค่สัมประสิทธิ์คือ $A^2+B^2+C^2+....$ เพราะเราอยากรู้ว่าพหุนามนั้นหน้าตาเป็นยังไง
สำหรับ$A^2+B^2+C^2+....=0$ แล้วสรุปว่า$A=B=C=...=0$ เพราะเรารู้แล้วว่า $x^2\geqslant 0$ สำหรับ$x$ ที่เป็นจำนวนจริง เมื่อแต่ละพจน์เป็นบวก ผลรวมทั้งหมดจะเป็นศูนย์เมื่อแต่ละพจน์เท่ากับศูนย์เท่านั้น

[Jaez]

ขอบคุณคะ เคลียร์บางส่วน ^^

แต่ก็ยังสงสัยตรงที่ $(A + Bx + Cx^2 + ...) + (A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...) = 2A$ หรอคะ ($2A$ คือพหุนาม เข้าใจถูกใช่ไหมคะ)
หรือเพราะเรา พิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x (ซึ่งจริงๆๆ แล้ว มันจะได้ $2A + B(x^2+1) + C(x^4+1)$ ใช่ไหมคะ)

แล้ว ถ้าเราไม่พิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x มันจะยุ่งยากรึเปล่าคะ

[กิตติ]

เฉพาะสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ไม่มี $x$ เพราะโจทย์กำหนดให้$p(x)p(\frac{1}{x} )=p(x)+p(\frac{1}{x} )$
เลยจับมาเท่ากันได้ครับ แนะนำว่าลองเขียนกระจายทีละข้างดีกว่าครับแล้วเลือกตรงพจน์ที่ไม่มี$x$
$p(x)p(\frac{1}{x} )=(A^2+B^2+C^2+...)+(..)x+(...)x^2+....$
$p(x)+p(\frac{1}{x} )=2A+Bx+Cx^2+....+B\frac{1}{x}+C\frac{1}{x^2}+...$
ผมว่าน่าจะเห็นชัดแล้วนะครับ
มันยุ่งมากที่เราจะพิจารณาพจน์อื่นครับ

[Jaez]

พอเข้าใจแล้วคะ ข้อนี้วิเคราะห์ยากจัง ขอบคุณคะ

[NNA-MATH]

อยากจะถามเกี่ยวกับข้อนี้หน่อยครับว่า . . .
โจทย์กำหนดแค่ สปส. เป็นจำนวนเต็ม แล้วทำไมเราต้องสมมุติดีกรีของ p(x) เป็นจำนวนเต็มด้วย
อาจมีพจน์ที่เป็น $x^{\frac{1}{2}}$ หรือ อื่นๆก็ได้ไม่ใช่หรอครับ
หรือว่าเป็นเพราะว่ามันคือ p(x) ไม่ใช่ f(x)

[Amankris]

@#8
พหุนาม ครับ

[NNA-MATH]

โอเคครับ ขอบคุณครับ

[catholic]

นานแล้วนะครับ แต่เพิ่งจะสงสัยว่าทำไม 1+B^2+C^2+...=2>>>B^2+C^2+...=1
นั่นคือมีตัวแปรหนึ่งตัว=1,−1นอกนั้น=0 จึงสรุปได้ว่า P(x)=1±x^n ล่ะครับ ม.6แล้วก็ยัง งงๆอยู่ดีครับ TT

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ catholic

นานแล้วนะครับ แต่เพิ่งจะสงสัยว่าทำไม 1+B^2+C^2+...=2>>>B^2+C^2+...=1
นั่นคือมีตัวแปรหนึ่งตัว=1,−1นอกนั้น=0 จึงสรุปได้ว่า P(x)=1±x^n ล่ะครับ ม.6แล้วก็ยัง งงๆอยู่ดีครับ TT

สมมติสั้นๆแค่ $B^2+C^2=1$

$B^2,C^2$ เป็นบวกหรือศูนย์ทั้งคู่

ถ้ามีซักจำนวนมีค่าเกินหนึ่งจะเกิดอะไรขึ้นครับ

[PP_nine]

ช่วงนี้รู้สึกโจทย์เลขกำลังมาแรง สำหรับใครที่สอบ PAT1

ข้อนี้ผมจัดรูปเอาครับ (นั่งกระจายมันปวดหัว )

จัดรูปเป็น $(p(x)-1)\Big(p\Big(\dfrac{1}{x}\Big)-1\Big)=1$

ให้ $q(x)=p(x)-1$ ได้ว่า $q(x)q\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=1$

ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ
______________________________________________________

จากสมการที่กำหนดให้ สามารถจัดได้ในรูป $\Big[p(x)-1\Big]\Big[p\Big(\dfrac{1}{x}\Big)-1\Big]=1$

สร้างพหุนาม $q$ ซึ่งนิยามโดย $q(x)=p(x)-1$ ฉะนั้น $q(x) \cdot q\Big(\dfrac{1}{x}\Big) =1$

ถ้าพหุนาม $q$ มีดีกรี $n$ แล้ว สามารถเขียนได้ว่า $q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

แต่เมื่อเรานำการกระจายพหุนาม $q(x)$ ไปแทนในสมการเดิมจะได้ว่า $a_n^2+a_{n-1}^2+\cdots+a_0^2+[\cdots]=1$

โดยที่ข้างในวงเล็บ $[\cdots]$ ทุกพจน์จะติดตัวแปร $x^k$ หรือ $\dfrac{1}{x^k}$ เสมอ โดยที่ $k\not=0$

กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_0=0$ เพราะ $a_n \not= 0$ (เรากำหนดไว้้แล้วว่า $deg(q)=n$)

และทุกพจน์ต้องมี สปส. $a_{n-1},a_{n-2},...,a_0$ อย่างน้อยตัวหนึ่ง

ทำให้ $q(x)=a_nx^n$ เมื่อนำไปแทนในสมการจะได้ว่า $a_n^2=1$ จึงได้ว่า $q(x)=\pm x^n$

จากเดิมจึงได้ $p(x)=1+q(x)=1 \pm x^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ (เป็น 0 ได้) #