แชร์โจทย์กัน

[Euler-Fermat]

1. กำหนดให้ $a<b<c$ เป็นรากของสมการ $x^3-3x+1 = 0$ จงหา $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $x>143$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้มีจำนวนเต็มบวก $y$ ที่ทำให้ $x>y>143$ และ $143x$ หารด้วย $y$ ลงตัว

แชร์วิธีทำกันหน่อยครับบ

[BLACK-Dragon]

ข้อแรก
ให้ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=A,\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}=B$
หา A+B=...
AB=...

ข้อสอง
$y|143x$ ถ้าหา x น้อย y ก็ต้องน้อย หา y ตัวที่น้อยที่สุดที่เป็นพหุคูณของ 11 หรือ 13

[artty60]

ข้อ1. จากความสัมพันธ์รากกับสมการพหุนาม

$a+b+c=0..........(1)$

$abc=-1............(2)$

$ab+bc+ca=-3....(3)$

สมการ$(1)\times (3);\,(2)$ จะได้ว่า $a^2c+ab^2+bc^2+b^2c+ac^2+a^2b=3......(4)$

$\frac{(4)}{(2)}$ จะได้ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})=-3$

ให้ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=X\,;\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=Y$

ดังนั้น $X+Y=-3\rightarrow Y=-(X+3).........(5)$

$XY=(abc)(a^3+b^3+c^3+3abc)+(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)$

จากสมการ $(1)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=-3$

และจากสมการ $(3)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=-24$

ดังนั้น $XY=-18.........(6)$

แทน (5) ใน (6) จะได้ $(X+3)X=18\rightarrow X^2+3X-18=0$

$(X+6)(X-3)=0\rightarrow X=-6,3$

จากการพิจารณาสมการโจทย์ $x^3-3x+1=0$ และสมการ $(1);\,(2)$

คำตอบน่าจะเป็น $-6$

ข้อ2. จาก $X>Y>143;\,Y\mid 143X$

$143=11\times 13$

$\therefore X=143\times 13;\,Y=143\times 11$

$X_{min}=143\times 13$ เป็นคำตอบ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อ1. จากความสัมพันธ์รากกับสมการพหุนาม

$a+b+c=0..........(1)$

$abc=-1............(2)$

$ab+bc+ca=-3....(3)$

สมการ$(1)\times (3);\,(2)$ จะได้ว่า $a^2c+ab^2+bc^2+b^2c+ac^2+a^2b=3......(4)$

$\frac{(4)}{(2)}$ จะได้ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})=-3$

ให้ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=X\,;\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=Y$

ดังนั้น $X+Y=-3\rightarrow Y=-(X+3).........(5)$

$XY=(abc)(a^3+b^3+c^3+3abc)+(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)$

จากสมการ $(1)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=-3$

และจากสมการ $(3)^3;\,(2);\,(4)$ จะได้ $a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=-24$

ดังนั้น $XY=-18.........(6)$

แทน (5) ใน (6) จะได้ $(X+3)X=18\rightarrow X^2+3X-18=0$

$(X+6)(X-3)=0\rightarrow X=-6,3$

จากการพิจารณาสมการโจทย์ $x^3-3x+1=0$ และสมการ $(1);\,(2)$

คำตอบน่าจะเป็น $-6$

ข้อ2. จาก $X>Y>143;\,Y\mid 143X$

$143=11\times 13$

$\therefore X=143\times 13;\,Y=143\times 11$

$X_{min}=143\times 13$ เป็นคำตอบ

"ผมมีข้อสงสัยอ่าคับ คือผมก็มั่วๆมึนๆเป็นประจำ
คำตอบน่าจะเป็น $-6$
ทำไมใช้คำว่าน่าจะอ่าครับ แสดงว่ามันเป็น 3 ได้ใช่ป่ะครับ
หรือว่ามันต้องมีเหตุผลที่ทำให้ตอบ 3 ไม่ได้สิครับ

ข้อ2. จาก $X>Y>143;\,Y\mid 143X$

$143=11\times 13$

$\therefore X=143\times 13;\,Y=143\times 11$

$X_{min}=143\times 13$ เป็นคำตอบ


เหมือนว่าข้อนี้ จะฟันธงว่าตอบ $143\times 13=1859$
แต่ผมงงอีกแล้วครับ
เพราะว่าผมตอบ x=182 , y=169 ไม่ได้ใช่ป่ะครับ
แสดงว่าผมต้องผิดพลาดตรงไหนซักที่แน่ๆ " มิตรสหายท่านหนึ่งว่าไว้

[BLACK-Dragon]

#2 ถ้าทำตามที่ผมบอก ผมว่าแปลความหมายข้อ 2 ผมผิดไปนะ

ลองแทน x=168,y=156 หรือ x=168 ,y=154

[artty60]

#4,#5 ขอบคุณมากครับที่ช่วยแก้ให้ เข้าใจแล้วครับ CPU ในสมองผมคงใกล้เจ๊งเต็มที