Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 08 มีนาคม 2007, 08:43
sornchai sornchai ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 สิงหาคม 2006
ข้อความ: 290
sornchai is on a distinguished road
Post โจทย์ สมาคมคณิตศาสตร์ ปี 42 ไม่เข้าใจ

เป็นโจทย์สามาคมคณิตศาสตร์ปี 42
ถ้า $ x^{ 2 }-x+1=0 $ แล้ว $x^{9 } +x^{ -9 }+x^{6 } +x^{ -6 }+x^{3 }+x^{ -3 }+1$ มีค่าเท่าใด
ก. -3/2 ข. -1 ค. 1 ง. 7
ข้อนี้เฉลยข้อ ข. วิธีคิด
$x^{ 2}-x+1=0 $
$(x+1) (x^{ 2 }-x+1)=0 $
$x^{3 } +1=0 $
แล้วแทนค่า x ออกมาได้ = -1 แต่ผมสงสัยว่า (x + 1 ) มาจากไหนครับไม่เข้าใจช่วยอธบายด้วยครับ
__________________
soom soom
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 08 มีนาคม 2007, 08:52
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Smile

มันเป็นตัวที่คูณเข้าไปเพื่อจัดรูปครับ เพราะเทอมที่โจทย์ให้เป็นตัวประกอบของ $x^3+1$ พอดี
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 08 มีนาคม 2007, 17:39
RedfoX's Avatar
RedfoX RedfoX ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 182
RedfoX is on a distinguished road
Post

การนำ x+1 คูณเข้าไปต้องมีเงื่อนไขว่า x+1 ไม่เท่ากับศุนย์ไม่ใช่รึครับ ดังนั้น x จึงไม่เท่ากับ -1 ไม่ใช่รึครับ
สงสัยครับ
__________________
ชอบคณิตศาสตร์ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 08 มีนาคม 2007, 18:56
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

เอาเฉลยมาจากไหนครับ... คือมันเฉลยวิธีผิดครับ

เดี๋ยวว่างๆจะมาแสดงให้ดู

Edit: เฉลยไม่ผิดหรอกครับผมเข้าใจผิดเอง
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ

08 มีนาคม 2007 20:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 08 มีนาคม 2007, 19:33
M@gpie's Avatar
M@gpie M@gpie ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 ตุลาคม 2003
ข้อความ: 1,227
M@gpie is on a distinguished road
Post

พี่ nongtum ตอบตามที่เห็นรึเปล่าครับ ไม่ได้คิดว่าถูกรึเปล่า

ส่วนวิธีเฉลยรอน้อง mastermander โชว์ฝีมือเลยครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 08 มีนาคม 2007, 19:54
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

จริงอยู่ถึงแม้ว่าวิธีการที่เฉลยมานั้นบกพร่อง เพราะว่าสมการ $x^3 + 1 = 0$ มี -1 เป็นราก
แต่ สมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ไม่มี -1 เป็นราก สมการจึงไม่สมมูลกัน

แต่อย่างไรก็ตามเราก็ยังคงสามารถแสดงได้ว่า $x^3 = -1$ โดยใช้ความรู้ระดับมัธยมต้น ดังนี้

จากสมการ $x^2 - x + 1 = 0$ ชัดเจนว่า $x \ne 0$
ดังนั้น $x^2 = x - 1 \Rightarrow x^4 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = x - 1 - 2x + 1 = -x$
แต่ $x \ne 0$ จึงนำ $x$ หารตลอดได้เป็น $x^3 = -1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 08 มีนาคม 2007, 20:35
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Post

ผมเข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ที่เค้าเฉลยไม่ได้ต้องการบอกว่า $X^{3} = -1$ จึงทำให้ได้รากของ X = -1 และนำ X = -1 ไปแทนลงในสมการ แต่เค้าต้องการจัดรูปว่ารากของสมการ $x^{ 2}-x+1=0$ เมื่อรากของมันยกกำลังสามแล้วเท่ากับ -1 จึงนำค่า $X^{3} = -1 $ไปแทนลงในสมการ แล้วได้คำตอบ = -1
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 08 มีนาคม 2007, 20:52
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
การนำ x+1 คูณเข้าไปต้องมีเงื่อนไขว่า x+1 ไม่เท่ากับศูนย์ไม่ใช่รึครับ ดังนั้น x จึงไม่เท่ากับ -1 ไม่ใช่รึครับ
สงสัยครับ
ใช่ครับ x ต้องไม่เท่ากับ -1 แต่ $x^3=-1$

My Solution

$x^2-x+1=0\quad \because\ x\ne0\to\; x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$

$x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^3+x^{-3}+1=2\cos540^\circ + 2\cos360^\circ + 2\cos90^\circ+1=-1$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ

08 มีนาคม 2007 20:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 08 มีนาคม 2007, 21:08
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Thumbs up

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ หยินหยาง:
ผมเข้าใจว่าโจทย์ข้อนี้ที่เค้าเฉลยไม่ได้ต้องการบอกว่า $X^{3} = -1$ จึงทำให้ได้รากของ X = -1 และนำ X = -1 ไปแทนลงในสมการ แต่เค้าต้องการจัดรูปว่ารากของสมการ $x^{ 2}-x+1=0$ เมื่อรากของมันยกกำลังสามแล้วเท่ากับ -1 จึงนำค่า $X^{3} = -1 $ไปแทนลงในสมการ แล้วได้คำตอบ = -1
ก็คงเป็นเช่นนั้นครับ แต่เวลาเขียนเฉลยก็น่าจะบอกหรือใช้คำพูดในเชิงตรรกศาสตร์ให้ชัดเจนว่า
ถ้า $x^2 - x + 1 = 0$ แล้ว $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$

ไม่งั้นบางทีอาจจะตีความผิดไปว่า

$x^2 - x + 1 = 0$ ก็ต่อเมื่อ $(x+1)(x^2 - x + 1)=0$

ซึ่งเป็นเท็จ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 09 มีนาคม 2007, 17:02
RedfoX's Avatar
RedfoX RedfoX ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 182
RedfoX is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:


ใช่ครับ x ต้องไม่เท่ากับ -1 แต่ $x^3=-1$

My Solution

$x^2-x+1=0\quad \because\ x\ne0\to\; x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$

$x^9+x^{-9}+x^6+x^{-6}+x^3+x^{-3}+1=2\cos540^\circ + 2\cos360^\circ + 2\cos90^\circ+1=-1$

x+\dfrac1x=1=2\cos60^\circ$ ไม่เข้าใจตรงนี้อะ
__________________
ชอบคณิตศาสตร์ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 09 มีนาคม 2007, 19:27
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

If $x+\dfrac1x=2\cos\theta$

Then $x^n+\dfrac1{x^n}=2\cos n\theta$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 12 มีนาคม 2007, 16:59
RedfoX's Avatar
RedfoX RedfoX ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2006
ข้อความ: 182
RedfoX is on a distinguished road
Post

พอจะพิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ อยากรู้อะครับ
__________________
ชอบคณิตศาสตร์ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 12 มีนาคม 2007, 17:17
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Post

http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1286&page=1
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha