โจทย์ความสัมพันธ์และฟังก์ชันครับ

[MiNd169]

มีเซต A และ B แล้วหา
จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A และจำนวนความสัมพันธ์ภายใน A ที่โดเมนเป็น A อย่างไรครับ

ตัวอย่างโจทย์
ให้ n(A) = 3 และ n(B) = 4 จงหา จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A

ขอบคุณครับ

[lek2554]

$n(A)=1 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^4-1$

$n(A)=2 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^8-\binom{2}{1}(2^4-1)-1 $

$n(A)=3 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^{12}-\binom{3}{1}(2^4-1)-\binom{3}{2}\left[2^8-\binom{2}{1}(2^4-1)-1\right ] -1 $

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$n(A)=1 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^4-1$

$n(A)=2 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^8-\binom{2}{1}(2^4-1)-1 $

$n(A)=3 , n(B)=4$ จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A $= 2^{12}-\binom{3}{1}(2^4-1)-\binom{3}{2}\left[2^8-\binom{2}{1}(2^4-1)\right] -1 $

ขอบคุณมากๆครับ
รบกวนขอ concept หรือที่มาีแนวคิดอีกนิดนึงครับ

[lek2554]

จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B = $2^{n(A)n(B)}$

จำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดอย่างน้อย 1 สิ่ง จาก n สิ่ง = $2^n-1$

ถ้าให้ $A=\left\{1\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน ได้จากการเลือกสมาชิกของ B อย่างน้อย 1 ตัว มาจับคู่กับ 1 จะได้ทั้งหมด = $2^2-1$ ความสัมพันธ์ คือ

$r_1 = \left\{(1,a)\right\}$

$r_2 = \left\{(1,b)\right\}$

$r_3 = \left\{(1,a),(1,b)\right\}$

ถ้าให้ $A=\left\{1,2\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน = ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 1 ตัว - เซตว่าง

ถ้าให้ $A=\left\{1,2,3\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน = ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 1 ตัว - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 2 ตัว - เซตว่าง

ป.ล. ที่ตอบครั้งแรก ผมพิมพ์ -1 ตกไป แก้แล้วครับ ดูเปรียบเทียบกับที่อ้างอิงไว้ด้วยครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B = $2^{n(A)n(B)}$

จำนวนวิธีในการเลือกสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดอย่างน้อย 1 สิ่ง จาก n สิ่ง = $2^n-1$

ถ้าให้ $A=\left\{1\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน ได้จากการเลือกสมาชิกของ B อย่างน้อย 1 ตัว มาจับคู่กับ 1 จะได้ทั้งหมด = $2^2-1$ ความสัมพันธ์ คือ

$r_1 = \left\{(1,a)\right\}$

$r_2 = \left\{(1,b)\right\}$

$r_3 = \left\{(1,a),(1,b)\right\}$

ถ้าให้ $A=\left\{1,2\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน = ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 1 ตัว - เซตว่าง

ถ้าให้ $A=\left\{1,2,3\right\} , B=\left\{a,b\right\}$

ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B ที่มี A เป็นโดเมน = ความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 1 ตัว - ความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่มีโดเมน 2 ตัว - เซตว่าง

ป.ล. ที่ตอบครั้งแรก ผมพิมพ์ -1 ตกไป แก้แล้วครับ ดูเปรียบเทียบกับที่อ้างอิงไว้ด้วยครับ

ขอบคุณมากๆครับ เข้าใจแล้วครับ

[MiNd169]

ขอเพิ่มเติมโจทย์เล็กน้อยครับ

ถูกหรือผิด?
มีเซต A บางเซต ที่ทำให้ A อินเตอร์เซ็ก (A x B) ไม่เท่ากับ เซตว่าง

ผมคิดว่าถูกครับ แต่เฉลยบอกว่าผิด แล้วเป็นอย่างไรกันแน่ครับ

[lek2554]

ยกตัวอย่างเซต A , B ที่ทำให้ข้อความนี้เป็นจริงซัก 1 ตัวอย่างได้มั้ยล่ะครับ

ข้อความนี่เป็นนิเสธของข้อความ $\forall A\left[A\cap (A\times B)=\phi \right]$ ซึ่งเป็นจริง เพราะ $A$ กับ $(A\times B) $ ไม่มีทางที่จะมีสมาชิกซ้ำกันได้เลย

ดังนั้นข้อความที่กำหนดให้จึงเป็นเท็จ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ยกตัวอย่างเซต A , B ที่ทำให้ข้อความนี้เป็นจริงซัก 1 ตัวอย่างได้มั้ยล่ะครับ

ข้อความนี่เป็นนิเสธของข้อความ $\forall A\left[A\cap (A\times B)=\phi \right]$ ซึ่งเป็นจริง เพราะ $A$ กับ $(A\times B) $ ไม่มีทางที่จะมีสมาชิกซ้ำกันได้เลย

ดังนั้นข้อความที่กำหนดให้จึงเป็นเท็จ

ผมคิดว่า ถ้า A = {a,(a,b)} และ B = {b,c}

AxB = {(a,b),(a,c),((a,b),b),((a,b),c)}

ซึ่ง $A\cap (A\times B) =$ {(a,b)}

[lek2554]

ยกต้วอย่างได้จริง ผมพลาดไปอย่างใหญ่หลวง ขอโทษครับ

[MiNd169]

คือผมสงสัยน่ะครับ ว่า
เราจะสามารถกำหนดให้ A ตอนเริ่มต้นมีสมาชิกที่เป็นคู่อันดับได้ไหม

ขอบคุณครับ

[Amankris]

โจทย์จริงๆ อาจจะมี Universe นะครับ

ต้องไปดูที่ต้นฉบับจริงๆ

[MiNd169]

เขาบอกว่า ให้ A B C เป็นเซตใดๆน่ะครับ

แล้วมันยังอยู่ในความหมายเดิมรึเปล่า?

[lek2554]

จากข้อตกลงในเรื่องเซต เมื่อกล่าวถึงเซตของจำนวน และไม่ได้ระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้หมายถึงเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง

แต่จะนำมาใช้อ้างอิงกับข้อความที่กล่าวมาได้หรือเปล่าผมไม่แน่ใจครับ

[MiNd169]

อ่าครับ ขอบคุณมากครัึบ