ฟังก์ชันก่อกำเนิด

[Thamma]

หาฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ $ ( c_r ) $ โดย $ c_r = \sum_{i=0}^{r} i 2^i, r \in N^0 $

แล้วแสดงว่า $ \sum_{i=0}^{r} i\cdot 2^i = 2 + (r-1) 2^{r+1} $


คิดได้แล้วว่า $ C (x) = \frac {2x} {(1-2x)^2 (1-x) } $

ช่วยแนะนำวิธีพิสูจน์ของคำถามที่ 2 ด้วยนะคะ

[FranceZii Siriseth]

$$L=\sum_{n = 0}^{r} n2^n=1×2^1+2×2^2+3×2^3+4×2^4+...+r×2^r$$
$$2L=0×2^1+1×2^2+2×2^3+3×2^4+...+(r-1)2^r+r2^{r+1}$$
$$-L=2+2^2+2^3+2^4+...+2^r-r2^{r+1}$$
$$-L=2+2^{r+1}-4-r2^{r+1}$$
$$L=2+(r-1)2^{r+1}$$

[Thamma]

ขอบคุณ คุณ FranceZii Siriseth ที่ช่วยตอบนะคะ เข้าใจแล้วค่ะ

อยากทราบว่า เราสามารถทำต่อจาก $ \frac {2x} {(1-2x)^2 (1-x) } $ ไปสู่ $ 2 + (r-1) 2^{r+1} $ ได้ไหมคะ

[FranceZii Siriseth]

ต้องหาความสัมพันธ์ในลำดับ $a_{n}$ ว่ามันจัดรูปยังไงที่ทำให้ค่าของการกระจายอนุกรมตัดกันได้ ผมเดาว่าน่าจะใช้ที่เขาให้มานั่นแหละครับ ตอนนี้ผมยังมองไม่ออกแหะๆ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ขอบคุณ คุณ FranceZii Siriseth ที่ช่วยตอบนะคะ เข้าใจแล้วค่ะ

อยากทราบว่า เราสามารถทำต่อจาก $ \frac {2x} {(1-2x)^2 (1-x) } $ ไปสู่ $ 2 + (r-1) 2^{r+1} $ ได้ไหมคะ

ข้อนี้ผมมีเฉลยพอดี มองแบบนี้

ที่ได้มาคือ $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=\frac{2x}{(1-x)(1-2x)^2}$ ใช้มั้ย

ใช้เศษส่วนย่อยแตกออกมาเป็น $\frac{2x}{(1-x)(1-2x)^2}=\frac{2}{1-x}-\frac{4}{1-2x}+\frac{2}{(1-2x)^2}$

เพราะงั้น $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=2 \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-4 \sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n+2\sum_{n=1}^{\infty}n(2x)^{n-1}$

แทน $n$ เดิมด้วย $n+1$ ในเทอมสุดท้ายเพื่อปรับ index ให้เป็น $n=0$ หมด แล้วจัดหา $a_{n}$ ก็ได้แล้วครับ

ปล. $\frac{1}{1-cx}=\sum_{n=0}^{\infty}(cx)^n$ และ $\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$

ปล2. เศษส่วนย่อยดูได้จากบทความหน้าเว็บนี้ก็ได้ครับ ตรงมุมเสริมประสบการณ์

[gon]

ตอนย้อนไป เราจะหาต้องสมมติแบบวิชาแคลคูลัส ที่อยู่ในรูปแบบเศษส่วนย่อยครับ (partial fraction)

โดยจะสมมติให้ $\frac{2x}{(1-2x)^2(1-x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{(1-2x)^2} + \frac{C}{1-x}$

ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ของ $x^k$ คือ $A\cdot 2^k + B(2^k(k+1)) + C$

เมื่อหาค่า $A, B, C$ ออกมา ก็จะพิสูจน์อนุกรมที่ต้องการได้ครับ.

[Thamma]

ขอบคุณ คุณ gon และคุณ Aquila สำหรับคำแนะนำที่มีประโยชน์ , ครอบคลุมทุกแง่ทุกมุมเลยนะ

ถ้ามีที่ผิดก็บอกนะคะ

$ \frac {2x} {(1-2x)^2 (1-x) } $

$ = \frac{2}{1-x} - \frac{4}{1-2x} + \frac{2}{(1-2x)^2} $

$ = 2 \sum_{i=0}^{r} x^r - 4 \sum_{i=0}^{r} (2x)^r + 2 \sum_{i=0}^{r} \binom {r+2-1}{r}(2x)^r $

$ = 2 \sum_{i=0}^{r} x^r - 4\cdot 2^r \sum_{i=0}^{r}x^r + 2(r+1) 2^r \sum_{i=0}^{r} x^r $

$ = 2 \sum_{i=0}^{r} x^r - 2\cdot 2^{r+1} \sum_{i=0}^{r}x^r + [ r\cdot 2^{r+1} +2^{r+1}] \sum_{i=0}^{r} x^r $

$= [2 + (r-1) 2^{r+1}] \sum_{i=0}^{r} x^r $