งงคับ กับ Equivalent Polynomial

[M@gpie]

ช่วยรบกวนดูการพิสูจน์ต่อไปนี้ แล้วอธิบายหน่อยครับผม so งง มากมาย
เป้าหมายคือ หาพหุนามที่มีจำนวนรากและตำแหน่งใกล้พหุนามเดิม ครับ

ก่อนอื่นมีนิยามดังนี้ครับ

Definition : If two polynomials have the same number of roots in LHP(Left Hand Plane) , RHP(Right Hand Plane) and iw axis , we say that they are equivalent .

suppose n is even . The polynomial \( P(s) = a_n s^n +a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_1 s +a_0 = 0\) can be divided into real and imaginary parts as \( P(s) = P_1(s) + P_2(s)\) where
Even Part : \( P_1(s) =a_ns^n + a_{n-2}s^{n-2} + ... +a_2s^2+a_0 \)
Odd Part : \( P_2(s) =a_{n-1}s^{n-1} + a_{n-3}s^{n-3} + ... +a_3s^3+a_1s \)

Fact 1 : if \( i \omega _0 \) is root of \( P(s)
\) then also a root of \( P_1(s) \) and \( P_2(s) \)

Fact 2 : For real constant a near zero , \( P(s) \) is equivalent to (as long as is has n degree ) \( Q(s, \alpha) = P(s) -\alpha sP_2(s)\)

Fact 3 : if \( \alpha \rightarrow \frac{a_n}{a_{n-1}} \) , \( Q(s,\alpha) \) drops degree as one of its roots approaches
\( \frac{-a_{n-1}}{a_n - \alpha a_{n-1}} = ( \alpha - \frac{a_n}{a_{n-1}})^{-1} \rightarrow \pm \infty\)

if \( a_{n-1} = 0 \) occurs problem. then

Fact 4 : if \( \alpha (s) \) is polynomial such that \( \alpha( i \omega) > 0 \) for all w and \( deg(\alpha P_2) < deg(P_1) \) then \( P_1(s) + P_2(s) \; \) equivalent to \( \; P_1(s) +\alpha (s)P_2(s) \)

proof Fact 4 : Let \( Q(s,\lambda) = P_1 +[(1-\lambda) + \lambda \alpha] P_2(s) \) where \( \; 0 \leq \lambda \leq 1 \)
We can see that \( Q(s,0) = P_1 + P_2(s) \) and \( Q(s,1) = P_1 + \alpha P_2(s) \) and \( (1- \lambda) +\lambda \alpha > 0 \) for all \( \omega \)

[gon]

แกน i\(\omega\) นี่คือแกนอะไรครับ
\(\omega\) นี่ใช่ รากที่สามของ 1 ตัวที่สองหรือเปล่าครับ \(\omega_0\) นี่หมายถึง รากที่สามของ 1 ตัวแรกหรือเปล่าครับ.

แล้วงงตรงบรรทัดไหน พี่ว่า พี่น่าจะงงกว่านะ ตอนนี้ยังไม่รู้เลยว่ากำลังทำอะไร
บอกทีได้ไหมครับ ว่ากำลังเรียนอะไรอยู่หรือไปหาอะไรเสริมอ่านวิชาอะไรอยู่ เผื่อจะเดาต่อได้บ้าง

(หรือจะเกี่ยวกับบทความของ noonuii หว่า เอามาโยงกันซะได้ )

[M@gpie]

คือ กำลังทดสอบว่า พหุนามที่กำหนดให้ มีรากอยู่บน ซีกขวา หรือ ซีกซ้าย ของระนาบเชิงซ้อน กี่ตัวครับ ใช้วิธีทดสอบที่เรียกว่า The Routh Hurwitz Criterion คับ เพื่อบอกว่า ระบบนี้มีเสถียรภาพ หรือไม่

สัมประสิทธิ์ของพหุนามต้องมีเครื่องหมายเหมือนกันหมด เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น (กฏเครื่องหมายของเดสการ์ด ) ที่ทำให้รากอยู่บนซีกซ้าย แต่ไม่เพียงพอ สำหรับ กรณีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน
ตัวอย่างก็คือ พหุนาม \( x^4+2x^3+3x^2+4x+1 = 0 \)
มีรากทั้งสี่คือ 0.2878 + 1.4161i , 0.2878 - 1.4161i , -1.2878 + 0.8579i , -1.2878 - 0.8579i

วิธีการทดสอบก็คือ ใช้ Fact 2 เพื่อลดดีกรี ของพหุนาม โดยใช้ a = \( -a_n / a_{n-1} \)
หาพหุนามที่ equivalent กัน แต่ดีกรีลดลง แล้วตรวจสอบ ต่อไปเรื่อยๆคับ
แต่ถ้า \( a_{n-1} = 0 \)จะเกิดปัญหา ก็เลยใช้ Fact 4 เพื่อหา a ตัวใหม่มา แล้วก็ทำเหมือนเดิมคับ งง รึเปล่าคับ ถ้างง ต้องขออภัยคับ เพราะผมก็ยังงง

คือ วิธีการนี้ ใช้ได้ผลครับ แต่ผมแค่สงสัยว่า ไอ้พหุนามที่สมมูลกัน เค้ารู้ได้ยังไง ว่ารากมันไม่เปลี่ยนไป

[TOP]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
แกน i\(\omega\) นี่คือแกนอะไรครับ
\(\omega\) นี่ใช่ รากที่สามของ 1 ตัวที่สองหรือเปล่าครับ \(\omega_0\) นี่หมายถึง รากที่สามของ 1 ตัวแรกหรือเปล่าครับ.

แกน \(i \omega\) มันคือแกนจินตภาพของ s-plane (s ตัวเดียวกับที่ปรากฎใน Laplace Transform) ส่วน \(\omega\) นั้นก็ไม่ได้เกี่ยวกับ รากที่สามของ 1 แต่อย่างใด (\( \omega = 2 \pi f \))

สรุปง่ายๆก็คือ เป็นวิธีที่ใช้ตรวจสอบว่า มีรากคำตอบของพหุนาม ที่ส่วนจริง(real part)ของมันเป็นบวกหรือไม่ เพราะหากมีจะทำให้ระบบควบคุมป้อนกลับขาดสเถียรภาพ

เท่าที่ค้นดูจะเจอแต่วิธีอีกแบบหนึ่ง เช่น Stability and the Routh Hurwitz Method หรือ Routh Hurwitz Method แต่ไม่เจอวิธีที่น้อง M@gpie เขียนมา แล้วก็ยังอ่านวิธีของน้อง M@gpie ไม่เข้าใจทั้งหมดด้วย ลองยกตัวอย่างพหุนามที่ต้องใช้ Fact1, Fact2, Fact3, Fact4 ในการวิเคราะห์ พร้อมวิธีการวิเคราะห์ด้วยครับ จะได้ทำความเข้าใจได้ง่ายขึ้น

[M@gpie]

อ้า มีพี่ Top เข้าใจผมแย้ววว .... คือ Fact 3 ข้อแรกเอาไว้พิสูจน์วิธีของ routh
วิธีนี้ผมก็ไม่เข้าใจเหมือนกันคับ แต่มันทำได้ งง ส่วนFact 4 เอาไว้ใช้กรณีมีปัญหาคับ

ก็คือ ถ้าทำ routh's array แล้วเจอตัวที่ คอลัมน์แรกเป็น ศูนย์ วิธีแก้คือใช้ epsilon method แต่ปัญหาคือว่า มันมีพหุนามที่ทำให้วิธีนี้ ไม่เป็นผลได้ (ผมจำไม่ได้แล้วคับ อ.เคยยกตัวอย่าง พหุนามดีกรี 10 )
วิธีการใช้ Fact ทั้ง 4 ที่ว่าคือแบบนี้คับ

มีพหุนาม \( p(s)=s^5+2s^4+3s^3+6s^2+5s+3 \)
ทำ routh's array จะได้ว่า
\( \bmatrix{s^5 | & 1 & 3 & 5 & \\ s^4 | & 2 & 6 & 3 \\ s^3 |& 0 & 7 & & \leftarrow \text{แถวนี้ตัวแรกเป็น 0 นั่นคือ} P_2(s) = 7s \ \text{ลดสัมประสิทธิ์ 7 ได้โดยคูณด้วย 1/7 and let} \; \alpha (s) = 1-s^2 \; \\ s^3 | & -1 & 1 & &\leftarrow \text{มาจาก} \ \alpha(s) P_2(s) = -s^3 +s \text{ซึ่ง โดย Fact 4 ข้อจะได้ว่า จำนวนรากของสมการจะเหมือนเดิม แล้วก็ทำต่อ} \\ s^2 | & 8 & 3 \\ s^1 | & \frac{11}{8} \\ s^0 | & 3} \)

สรุปที่ผมอยากรู้คือ เราจะรู้ได้ยังไงคับว่าเราจะเลือก \( \alpha(s)\) เป็นพหุนามไหนจึงสอดคล้องเงื่อนไข อ.แนะนำให้ใช้ \( \alpha(s) = 1+(-s^2)^{k-1} \) เมื่อ k คือ เลขคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ในแถวที่ตัวข้างหน้าเป็น 0 อยากรู้ว่ามายังไงอ่าคับ

ปล. รบกวนด้วยครับ ออกจะดูมากเรื่องไปซักนิดแหะๆๆ หวังว่าพี่ๆจะไม่ว่ากัน ขออภัยด้วยงับ (แต่เวลาสอบก็จำวิธีทำโลดคับ ) ....

[TOP]

ลองอ่านเอกสารอันนี้ดูนะครับ อาจจะช่วยได้ (ผมก็พยายามอ่านอยู่เช่นกัน) Elementary proof of the Routh-Hurwitz test

[nooonuii]

โอ ไม่เคยเห็นทฤษฎีนี้มาก่อนเลยครับ เขาเอาไว้ใช้ทำอะไรเหรอ

[M@gpie]

ขอบคุงพี่ top มากเลยนะคับที่ช่วยหาบทพิสูจน์มาให้ แต่ดูเหมือนความยากจะอยู่ระดับสูงมากทีเดียว เหอๆๆ นั่งแงะนานแล้วยังไม่เข้าใจเลยคับ