please help! Topology question

[suan123]

please give an example of unbounded sequence that has a convergent subsequence.

Thank you for every answers

[passer-by]

$a_n= \left \{ \begin{array}{rcl} n \quad \text{;n is odd} \\ 1 \quad \text{;n is even}\end{array} \right. $

[suan123]

ขอโทษครับ อ่านไม่รู้เรื่องเลยครับ หมายความว่าไงเอ๋ย?

[passer-by]

อ้าว ไหงเป็นอย่างงั้นไปได้เนี่ย

ก็คือ ถ้า n เป็นเลขคี่ ให้ a_n เท่ากับ n ครับ แต่ถ้า n เป็นเลขคู่ ก็ให้ a_nเป็น 1

ส่วนที่เท่ากับ 1 นี่แหละครับ ที่เป็น convergent subsequence

[suan123]

ขอบคุณครับ พอจะมีอีกสักตัวอย่างไหมครับ

[suan123]

อยากได้ตัวอย่างที่ไม่ใช่ step function อะครับ ตอนแรกผมคิดว่าน่าจะเป็น cosine function that is convergent

sequence ,but subsequence is divergent. พอจะเป็นไปได้ไหมครับ

[M@gpie]

cosine นั้น bounded นะครับ ถ้าใช้อย่างเดียวคงจะไม่เวิร์ค ยังไงก้ต้องมีเทอมที่ทำให้ มัน unbounded

[passer-by]

อยากได้แบบมี cosine ก็ไม่มีปัญหาครับ งั้นก็ define อย่างนี้สิ

ถ้า n เป็นเลขคู่ a_n= cos(n)

ถ้า n เป็นเลขคี่ a_n= n

ก็จะได้แบบที่ unbounded และมี convergent subsequence

สาเหตุที่มัน มี convergent subsequence ก็เพราะผลของ Bolzano Weierstrass Theorem ที่ apply กับ ส่วนที่เป็น cos(n) น่ะครับ

ว่าแต่ทำไมคำถามพวกนี้ มันมาอยู่ในวิชา topology ได้ล่ะครับ

จริงๆคำถามใน topology มันจะจุกจิกกว่าที่เราเรียนใน metric space เยอะเลยครับ เพราะ metric space เป็นแค่ส่วนหนึ่งใน topological space

บางที limit ใน topo. space ก็ไม่ unique , บางที finite set ก็ไม่ closed ในบาง topo. space และอีกมากมาย ที่ต้องแยกแยะให้ดีว่า define บน topo. space version ไหน

[kongp]

คณิตศาสตร์เป็นการกล่าวคร่าวๆ เฉพาะกลุ่ม เฉพาะปัญหา ดังนั้นความเข้าใจที่แตกต่างกันจึงมีขึ้น ถูกผิดแน่นอนไม่แน่นอน

[nooonuii]

$$a_n=n\cos\big(\frac{\pi n}{2}\big)$$