Problems for Mathcenter Contest Round 3

[nongtum]

คำชี้แจงและข้อตกลง (คลิกเพื่ออ่าน)

ในการแข่งขันครั้งนี้ ไม่มีการแข่งขันระดับประถมและมัธยมปลาย เนื่องจากมีจำนวนโจทย์ที่ใช้คัดเลือกในรอบนี้น้อยเกินไป
โจทย์ที่ส่งมาในสองระดับนี้ จะถูกยกยอดไปใช้เป็นโจทย์สำหรับคัดเลือกในรอบถัดไปครับ
ทางผู้จัดขอสงวนสิทธิ์ที่จะนำโจทย์ในระดับอื่นๆ ที่ไม่ได้นำมาใช้ใน Longlist ไปใช้ในการคัดเลือกโจทย์สำหรับรอบถัดไปครับ

หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันศุกร์ที่ 17 ตุลาคม 2551 เท่านั้น และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว
เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม

หมดเวลาส่งคำตอบ: วันอาทิตย์ที่ 14 ธันวาคม 2551 เวลา 22:30 น.

โอลิมปิก

คะแนนเต็ม 50 คะแนน

1. (5 คะแนน) $\triangle{ABC}$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมใด ๆ ซึ่งเส้นแบ่งครึ่งมุม $A,B$ และ $C$ ตัด $BC,AC$ และ $AB$ ที่ $A_1 , B_1 , C_1$ ตามลำดับ
และสี่เหลี่ยม $BA_{1}B_{1}C_{1}$ มีวงกลมล้อมรอบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{BC}{AC+AB} = \frac{AC}{AB+BC}-\frac{AB}{BC+AC}$$
(เสนอโดยคุณ dektep)

2. (5 คะแนน) ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$
(เสนอโดยคุณ tatari/nightmare)

3. (5 คะแนน) ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ เป็น $a,b,c$ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{ab\sin{2C}+bc\sin{2A}+ca\sin{2B}}{ab+bc+ca}\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

4. (5 คะแนน) กำหนดให้ $p,q,r \in \mathbb{R}^+$ และสำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $pqr=1$ จงแสดงว่า
$$ \frac{1}{p^n+q^n+1} + \frac{1}{q^n+r^n+1} + \frac{1}{r^n+p^n+1} \leq 1$$
(เสนอโดยคุณ Art_Ninja)

5. (5 คะแนน) กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $ab+bc+ca = 3$
จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\geq\dfrac{3}{2}$$
(เสนอโดยคุณ dektep)

6. (5 คะแนน) สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ $a>1$ จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ อนันต์ตัวที่ทำให้ $$n\mid a^n+1$$
(เสนอโดยคุณ tomoyo_jung)

7. (5 คะแนน) ให้ $n,d$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า มีลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก $$a_1,a_2,...,a_n$$ ที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $d$ และ $a_i$ มีตัวประกอบเฉพาะมากกว่าหรือเท่ากับ $i$ ทุกค่า $i=1,2,...,n$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

8. (5 คะแนน) พิสูจน์ว่ามีจุด $A_0 \,\, ,A_1 \,\, , \cdots A_{2550}$ ที่ต่างกันบนระนาบ XY ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้พร้อมกัน

(i) สามจุดใดๆ ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(ii) ถ้า $ d(A_i,A_j)$ แทนระยะห่างระหว่าง $A_i\,\, , A_j $ แล้ว $$ \sum_{0 \leq i< j \leq 2550}\{d(A_i,A_j)\} < 10^{-2551}$$

NOTE : $ \{x \}$ แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ x เช่น $ \{ 3.16\} = 0.16$
(เสนอโดยคุณ passer-by)

9. (5 คะแนน) กำหนด $P$ เป็นฟังก์ชันพหุนามโดย $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} x^k$
ก. จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $m,n\in N$ เมื่อหาร $p_n(x)$ ด้วย $p_m(x)$ แล้ว จะเหลือเศษเป็น
$$p_i(x),\forall i=0,1,...,m-1$$
ข. จงหาจำนวนเต็มบวก $i,j,k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$p_i(x)+p_j(x^2)+p_k(x^4)=p_{100}(x)$$
(เสนอโดยคุณ square1zoa)

10. (5 คะแนน) ข้อสอบชุดหนึ่งเป็นข้อสอบปรนัยมี 5 ข้อ แต่ละข้อมี 4 ตัวเลือก มีผู้เข้าสอบ 2000 คน แต่ละคนเลือกคำตอบในแต่ละข้อเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ที่ทำให้กระดาษคำตอบของนักเรียนมีสมบัติต่อไปนี้:
ในกระดาษคำตอบของนักเรียน $n$ แผ่น มีสี่แผ่นในนั้น ที่สองแผ่นใดๆในสี่แผ่นนั้นมีคำตอบเหมือนกันอย่างมากสามข้อ
(เสนอโดยคุณ tatari/nightmare)

มหาวิทยาลัย

คะแนนเต็ม 19 คะแนน

1. (4 คะแนน) กำหนดสามเหลี่ยม ABC และจุด $ P_0= A $ , $ P_1 = $ จุดกึ่งกลาง $BC$
$ P_{2k} = $ จุดกึ่งกลาง $AP_{2k-1}$ และ $ P_{2k+1} = $ จุดกึ่งกลาง $BP_{2k}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนนับ

เมื่อ $ k \rightarrow \infty $ จุด $P_k$ มีแนวโน้ม ลู่เข้าหาจุดบนด้าน AB และแบ่ง AB ออกเป็นอัตราส่วนค่าหนึ่ง จงหาว่าอัตราส่วนดังกล่าวเป็นเท่าใด
(เสนอโดยคุณ passer-by)

2. (4 คะแนน) จงหาค่าของ $$\frac{1\cdot 2\cdot 3}{1!+2!+3!}+\frac{2\cdot 3\cdot 4}{2!+3!+4!}+\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3!+4!+5!}+\cdots$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

3. (5 คะแนน) แบคทีเรียชนิดหนึ่งจะแบ่งตัวออกเป็น $3$ ส่วนที่มีคุณสมบัติเหมือนต้นแบบเมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที
โดยมีโอกาสที่จะแบ่งตัวสำเร็จเป็น $p$ โดยที่ $(0\leq p\leq 1)$ ถ้าแบ่งตัวไม่สำเร็จจะตายทันที
กำหนดให้ $\displaystyle{f_{n}(p)}$ เป็นความน่าจะเป็นที่แบคทีเรียจะแบ่งตัวไปเรื่อย ๆ เมื่อตอนเริ่มต้นมีแบคทีเรีย $n$ ตัว
จงหาค่าของ $\displaystyle{f_{1}(p)}$ ในรูปของ $p$
หมายเหตุ : แบคทีเรียไม่มีการแก่ตาย
(เสนอโดยคุณ Timestopper_STG)

4. (3+3 คะแนน) ให้ $s_1<s_2<\cdots<s_n$ เป็นจำนวนจริง นิยาม $n\times n$ matrix $A=(a_{ij})$ โดย $$a_{ij}=\max\{s_i,s_j\}$$

(a) จงพิสูจน์ว่า $A$ เป็น invertible matrix ก็ต่อเมื่อ $s_n\neq 0$

(b) สมมติว่า $s_n\neq 0$ นิยาม $A^{-1}=(b_{ij})$ จงหาค่าของ $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)

มัธยมต้น

คะแนนเต็ม 13 คะแนน

1. (4 คะแนน)
หมายเหตุจากเจ้าของโจทย์: ในรูปเกิดการใช้ตัวแปร $K$ ซ้ำครับ ขอแก้เป็น
$K_1$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปใหญ่
$K_2$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปเล็ก

จากรูป
- ให้ $K_2N$ ยาว 1 หน่วย จุด $K_2$ ,$L$ และ $P$ เป็นจุดบนวงกลม $N$
- สี่เหลี่ยม $WXYZ$ เป็นการย่อสี่เหลี่ยม $ABCD$ ครั้งที่ 1


ถ้าย่อ สี่เหลี่ยม $WXYZ$ ไปเรื่อยๆ $n$ ครั้ง โดยการย่อแต่ละครั้งจะเท่ากับอัตราส่วนที่ย่อ สี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยม $WXYZ$
- จงหาอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมโค้ง $MAN$ ต่อพื้นที่ที่เกิดจากการย่อส่วนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยส่วนโค้ง $K_2PL$ และส่วนของเส้นตรง $K_2L$ จำนวน $n$ ครั้ง

หมายเหตุ: โปรดอ่านความคิดเห็นที่ 2 ของคุณ [SIL] ประกอบ
(เสนอโดยคุณ [SIL])

2. (4 คะแนน) กำหนด $ 0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ จงหาว่า ค่าต่ำสุดของ $ 6\sec^2 \theta - 6\sec \theta \tan \theta -2 \sec \theta +2 \tan \theta -9 $ เกิดเมื่อ $\sin \theta$ มีค่าเท่าใด
(เสนอโดยคุณ passer-by)

3. (5 คะแนน) จงแก้ระบบสมการ
$$(x_i-x_{i+1}+x_{i+2})^2=x_{i+1}(x_{i+3}+x_{i+4}-x_{i+1})$$
สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$
(Note: $x_{k+5}=x_{k}$)
(เสนอโดยคุณ tatari/nightmare)

ปล. อย่ากลัวที่จะทำโจทย์ข้ามรุ่น เพราะบางข้ออาจไม่ยากอย่างที่คิด

ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์ปัญหาครับ

[[SIL]]

มัธยมต้น ข้อ 1 เกิดการใช้ตัวแปร K ซ้ำครับ ขอแก้เป็น
$K_1$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปใหญ่
$K_2$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปเล็กนะครับ
1. (4 คะแนน)
เงื่อนไข จากรูป
- ให้ $K_2N$ ยาว 1 หน่วย จุด $K_2$ ,L และ P เป็นจุดบนวงกลม N
- สี่เหลี่ยม WXYZ เป็นการย่อสี่เหลี่ยม ABCD ครั้งที่ 1
ถ้าย่อ สี่เหลี่ยม WXYZ ไปเรื่อยๆ n ครั้ง โดยการย่อแต่ละครั้งจะเท่ากับอัตราส่วนที่ย่อ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยม WXYZ
- จงหาอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมโค้ง MAN ต่อพื้นที่ที่เกิดจากการย่อส่วนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยส่วนโค้ง $K_2PL$ และส่วนของเส้นตรง $K_2L$ จำนวน n ครับ
เรียบร้อยแล้วนะครับ หุหุ

[au]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

- จงหาอัตราส่วนพื้นที่สามเหลี่ยมโค้ง MAN ต่อพื้นที่ที่เกิดจากการย่อส่วนพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยส่วนโค้ง $K_1PL$ และส่วนของเส้นตรง $K_1L$ จำนวน n ครั้ง

$K_1PL$ และ $K_1L$ ควรแก้เป็น $K_2PL$ และ $K_2L$ ตามลำดับนะครับ

[mercedesbenz]

ผมได้ทำ file โจทย์ mathcenter contest R 3 เอาไว้
เป็น file pdf ถ้าใครสนใจ ก็โหลดเอาไปปริ๊น เพื่อฝึกทำได้ครับ
link อยู่นี่ครับ
http://www.uploadd.com/download.aspx?pku=35CBB86125RJ1WWP[5YS1LM6CF5TWR

link สำรองหาก load ข้างบนไม่ได้
http://www.uploadtoday.com/download/?79963&A=875167

[[SIL]]

คุณ mercedesbenz สวยงามมากครับ เสียเวลาทำนานนะเนี่ย
โหลดลิ้งสำรองนะครับรู้สึกลิ้งค์บนเสีย

[TuaZaa08]

ว๊ากกก จะบ้าตาย ม.ต้นออกอารัยมา
ทำม่ะได้รุย

[square1zoa]

ขออภัยนิดนึง สำหรับคนที่คิดข้อ 9

โจทย์เป็นแบบนี้นะครับ $$p_i(x)p_j(x^2)p_k(x^4)=p_{100}(x)$$

[Anonymous314]

ตอนนี้แข่งขันเสร็จแล้ว ไม่ประกาศ Longlist อะครับ

[nongtum]

ขออภัยครับ ผมยุ่งจนลืมไปเลย เดี๋ยวพรุ่งนี้เย็นๆจะแวะมาแปะให้ครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

โจทยืดีครับ แต่เดี่ยวผมจะไปทำโจทย์IOM แล้ว

[square1zoa]

เมื่อไหร่จะประกาศซักที (พวกฟอสซิลก็ที่หนึ่งตามเคย)

[sarun_morn]

ไม่เหนของมปลาย -*-

[MR.Quest]

น่าจะมีป.บ้างน้า

[nongtum]

เห็นเริ่มๆมีคนถามถึงกันนะ แต่พอเปิดแข่งจริงไม่ค่อยมีคนตอบหรือส่งโจทย์มาสักเท่าไหร่ครับ ในฐานะคนจัดก็แอบใจเสียนิดๆเหมือนกัน
ในปีนี้ หากไม่มีอะไรพลาด ปีนี้ (2009) จะมีการแข่งกันสามครั้ง ทุกๆสามเดือนครับ
หากผมไม่ติดอะไรซะก่อน หลังสงกรานต์นี้คงเริ่มเปิดรับโจทย์สำหรับรอบเดือนเมษายน-มิถุนายน พร้อมกับการประกาศผลรอบที่แล้วครับ

ทั้งนี้ หากอยากให้มีการเปลี่ยนแปลงกฎ กติกา มารยาทในการแข่งขันใดๆ ก็บอกกันได้ในกระทู้นี้ครับ
เพื่อป้องกันการตอบคำถามซ้ำในกรณีที่เคยชี้แจงไปแล้ว กรุณาอ่านคำชี้แจงของการแข่งแต่ละครั้งที่ผ่านมาก่อนตั้งคำถามด้วยครับ

[sarun_morn]

ไม่เห็นมี ม.ปลายเลย -*-