ช่วยผมดูสมการพหุนามสมการนี้หน่อยครับ

[กิตติ]

อยากทราบว่าสมการ $x^3-3x^2+Ax-1=0$ จะมีรากสมการเป็นจำนวนจริง เมื่อ$A$มีค่าเป็นเท่าไหร่
ผมกำลังจะนำสมการพหุนามนี้ไปช่วยไขการพิสูจน์โจทย์ข้อหนึ่งที่น้องอาร์ทโพสไว้ให้ ผมทำค้างคามาหลายวัน
จริงๆโจทย์ข้อนั้นใช้AM-GMก็ออก แต่ผมขอดื้อไม่ใช้ลองใช้วิธีอื่นดู
รบกวนสมาชิกในMCช่วยดูให้สมการพหุนามให้ผมหน่อยครับ ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อยากทราบว่าสมการ $x^3-3x^2+Ax-1=0$ จะมีรากสมการเป็นจำนวนจริง เมื่อ$A$มีค่าเป็นเท่าไหร่
ผมกำลังจะนำสมการพหุนามนี้ไปช่วยไขการพิสูจน์โจทย์ข้อหนึ่งที่น้องอาร์ทโพสไว้ให้ ผมทำค้างคามาหลายวัน
จริงๆโจทย์ข้อนั้นใช้AM-GMก็ออก แต่ผมขอดื้อไม่ใช้ลองใช้วิธีอื่นดู
รบกวนสมาชิกในMCช่วยดูให้สมการพหุนามให้ผมหน่อยครับ ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบ

ให้ a,b,c เป็นรากของสมการดังกล่าว
จะได้ $a+b+c=3$ และ $abc=1$
เราจะได้สมการ $2a+2b+2c-6\sqrt[3]{abc}=0$
$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})((\sqrt{a}\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2)=0$

กรณีที่1. $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=0$ จะได้ a=b=c=0 ไม่จริง
กรณีที่2. $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2)=0$
จะได้ $a=b=c$ นำไปแทนในสมการได้ $a=b=c=1$
จะได้ A=3

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ให้ a,b,c เป็นรากของสมการดังกล่าว
จะได้ $a+b+c=3$ และ $abc=1$
เราจะได้สมการ $2a+2b+2c-6\sqrt[3]{abc}=0$
$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})((\sqrt{a}\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2)=0$ ผมว่าตรงนี้ต้องเป็นรากที่ สามไม่ใช่หรือครับ

กรณีที่1. $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=0$ จะได้ a=b=c=0 ไม่จริง
กรณีที่2. $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2)=0$
จะได้ $a=b=c$ นำไปแทนในสมการได้ $a=b=c=1$
จะได้ A=3

และ A=3 ก็เป็นเพียงหนึ่งคำตอบในหลายคำตอบครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อยากทราบว่าสมการ $x^3-3x^2+Ax-1=0$ จะมีรากสมการเป็นจำนวนจริง เมื่อ$A$มีค่าเป็นเท่าไหร่
ผมกำลังจะนำสมการพหุนามนี้ไปช่วยไขการพิสูจน์โจทย์ข้อหนึ่งที่น้องอาร์ทโพสไว้ให้ ผมทำค้างคามาหลายวัน
จริงๆโจทย์ข้อนั้นใช้AM-GMก็ออก แต่ผมขอดื้อไม่ใช้ลองใช้วิธีอื่นดู
รบกวนสมาชิกในMCช่วยดูให้สมการพหุนามให้ผมหน่อยครับ ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบ

หมายถึงมีรากเป็นจำนวนจริงทั้งสามรากหรือเปล่าครับ

ถ้าต้องการว่ามีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งราก $A$ เป็นจำนวนจริงใดๆก็ได้

ถ้าอยากได้รากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงจะได้ว่า $A\leq 3$ ครับ

[Scylla_Shadow]

นั่นสินะ ตรงตามที่คุณหยินหยางกับคุณ nooonuiiพูด
ผมเมอย่างสรุนแรง

[กิตติ]

ขอบคุณทุกท่านที่สละเวลาและความรู้มาช่วยผมดูสมการพหุนามนี้
ใช่ครับคุณNOOONUII....รากสมการเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า และเป็นจำนวนจริงบวก
ท่าทางจะตันเสียแล้วเพราะขอบเขตของค่า$A$นั้นน้อยกว่า3
เพราะผมรู้แค่ว่า$0< A \leqslant 3$ ผมก็ยังไม่รู้ว่าค่าที่แน่นอนของ$A$
ผมอยากรู้ค่าจริงๆของ$A$ ดูท่าทางแล้วจะไปต่อไม่ได้ ขอบคุณทุกท่านครับ
สำหรับบรรทัดนี้ ดูท่าทางจะมาจาก$AM-GM$ ใช่ไหมครับ

เราจะได้สมการ $2a+2b+2c-6\sqrt[3]{abc}=0$

[nooonuii]

อ๋อ รากเป็นจำนวนจริงบวกหมดก็ได้ว่า $A=3$ เท่านั้นครับ

เพราะใช้อสมการ AM-GM ได้ข้อสรุปว่า $a=b=c=1$

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณNOOONUII รบกวนมากเลย เกรงใจเหมือนกันครับ
อยากรบกวนอีกหน่อย ผมขอเข้าไปดูโจทย์ข้อเริ่มต้นที่ชวนให้ผมมานั่งปวดหัว
เป็นโจทย์ของน้องอาร์ท ตามนี้ครับ
ผมคงยอมไม่พิสูจน์ต่อแล้วครับ เพราะคงต้องใช้AM-GMดีกว่า ทุ่นเวลามากกว่า
ผมเองบางทีก็ดื้อครับ....อยากลองวิธีพิสูจน์แบบอื่น แล้วก็ไม่รอดครับ

2. ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $a,b,c$ ที่ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=3 $

จงแสดงว่า $abc$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์

ในกระทู้นี้ครับ โจทย์ที่หาได้มา..ในหมวดข้อสอบโอลิมปิก
สงสัยเกินความรู้ผมแล้ว

[nooonuii]

ใช้ AM - GM เหมือนกันครับ จะได้ว่า

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=1$

ดังนั้น $a=b=c$

จริงๆแล้วใช้วิธีการทางพีชคณิตก็ได้ครับ

แต่ AM-GM สรุปแนวคิดรวบยอดของวิธีการพวกนี้อีกที

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$

$ab^2+bc^2+ca^2=3abc$

ให้ $x=\sqrt[3]{ab^2},y=\sqrt[3]{bc^2},z=\sqrt[3]{ca^2}$

จะได้สมการ

$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0$

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$ เพราะว่า $x+y+z>0$

$\dfrac{1}{2}(x-y)^2+\dfrac{1}{2}(y-z)^2+\dfrac{1}{2}(z-x)^2=0$

ดังนั้น $x=y=z$ ซึ่งจะได้ $a=b=c$

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณNooNuii....เข้าใจแล้วครับ อยู่ตรงที่เราสมมุติอะไร
กระจ่างแจ้งเลยครับ....