ขอถามเกี่ยวกับ Separable Set ครับ

[Tzenith]

$K_0 = \{\overline{z}\}$
$K_{n+1} = co(K_n \cup \{f(y) : y \in K_n\} \cup \{T_ky : y \in K_n \,\,\text{and}\, k \in \{1,2,\ldots,N\}\})$
$K = \overline{\cup_{n \in \Bbb{N}}K_n}.$
Please help me to show that $K$ is separable.


$\overline{z}$ is fixed point of $\cap^N_{i=1}Fix(T_i).$
$T_i$ is family of generalized contraction.
$f$ is $\rho$-contraction

[nooonuii]

$co$ คืออะไรครับ

[Tzenith]

Convex hull of the set

[Tzenith]

ใครคิดได้ช่วยคิดทีครับ ตอนนี้พิสูจน์ไปแล้วว่า

K is closed and convex.

โดยมี Space ใหญ่เป็น Banach space

[Tzenith]

ผมลองมีแนวคิดมาเสนอนะครับ... ช่วยหน่อยนะครับ

นิยาม Separable ก็คือ ต้องหา subset ที่ countable และ dense

จากที่ทราบว่า Union of countable is countable

ผมเลยแอบมองว่า $\cup_{n \in \Bbb{N}}K_n$ ตัวนี้คือ subset ที่เรากำลังจะหา

เพียงแต่เราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $K_n$ แต่ละตัว มัน countable

นั่นก็คือ ต้องรู้ให้ได้ว่า convex hull of countable set is countable

แบบนี้ก็น่าจะจบ....

มีทฤษฎีไหนมั้ยครับ ที่บอกว่า convex hull of countable set is countable

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[Tzenith]

เอ่อ....แต่มันมีตัวอย่างว่า convex hull of countable set is "not" countable

แต่ในกรณีข้างบน มันยัง countable อยู่มั้ยครับ

[nooonuii]

convex hull ไม่น่าจะ countable ครับ เพราะเราต้องเอา convex combination ในรูป $ta+(1-t)b$ มาพิจารณาซึ่งตัววิ่งเป็น uncountable set อยู่แล้ว