จินตนาการเกิดได้อย่างไร

[pood]

อิอิ ดูๆแล้ว พวกพี่ๆ ในบอร์ด ทำโจทย์เลขกันเจ๋งมากๆ เลย อย่างนี้หนูก็เลยคิดเอาว่าแสดงว่าเวลาทำโจทย์กันเนี่ย จะต้องมีจินตนาการแน่ๆ เลย ถึงได้สามารถคิดวิธีที่มันหลากหลายได้อย่างนี้อ่ะ อิอิ หนูไม่ค่อยมีจินตนาการอ่ะค่ะ เซ็งจัง อยากมีจินตนาการอันบรรเจิดมั่งอ่ะ

[Mastermander]

ต้องมีประสบการณ์ (ที่เกิดจากการฝึกฝน)

ต้องมีใจรัก (เพียรพยายาม)

มีทัศนคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์...

[passer-by]

จินตนาการในการแก้โจทย์เลข อาจมาจาก การลองผิด ลองถูก ก็ได้ครับ

บางครั้ง ประสบการณ์บวกกับ การหัดสังเกตผลที่เกิดขึ้น จากการเสี่ยงผิดเสี่ยงถูก หลายๆแบบ อาจนำไปสู่ รูปแบบใหม่ หรือ ประกายไอเดีย ที่จะใช้จัดการกับคำถามข้อนั้นก็เป็นได้ โดยเฉพาะคำถามพวก เรขาคณิต หรือ อสมการโหดๆ

ทั้งนี้ จินตนาการจะพัฒนาได้ดีแค่ไหน ก็ต้องอาศัยสิ่งที่น้อง Mastermander บอกไว้ข้างต้นเป็นพื้นฐานก่อนครับ

อ้อ ! อีกอย่างหนึ่ง สมาธิก็มีส่วนช่วยทำให้จินตนาการทำงานได้ดีด้วยนะครับ เมื่อจิตว่าง อะไรดีๆจะตามมาเอง

ข้อความเดิมของคุณ pood :
หนูไม่ค่อยมีจินตนาการอ่ะค่ะ เซ็งจัง อยากมีจินตนาการอันบรรเจิดมั่งอ่ะ

นอกจากสิ่งที่ผมกับน้อง Mastermander กล่าวไปแล้ว ผมไม่แน่ใจว่า ลักษณะทางกายภาพของสมองจะมีผลต่อเรื่องการพัฒนาจินตนาการหรือไม่ และถ้าสุภาพสตรีดึงข้อดีของสมองแบบเพศหญิงมาใช้ได้ จะส่งผลดีต่อจินตนาการในการคำนวณหรือไม่

ถ้าผมจำไม่ผิด สมองแบบเพศหญิง จะมี connection ระหว่างส่วนต่างๆในสมองค่อนข้างมากกว่าเพศชาย ซึ่งทำให้ผู้หญิงสามารถทำโน่นทำนี่ได้หลายอย่างในเวลาเดียวกัน แต่ผู้ชายส่วนใหญ่ต้องโฟกัสเป็นอย่างๆไป

การใช้ข้อดีข้อนี้ในการคำนวณ เป็นเพียงสมมติฐานของผมเฉยๆนะครับ ส่วนถ้านำมาปรับใช้กับการคำนวณ แล้วจะได้ผลดีหรือไม่ ก็คงต้องทดลองกันดู หรือไม่ก็ต้องปรึกษาหมอพวกสมองและระบบประสาทดูนะครับ

[warut]

สำหรับผมแล้วไม่เคยใช้จินตนาการเลยครับ ข้อที่ทำได้อย่างรวดเร็วส่วนใหญ่คือ เคยเจอมาแล้ว หรือเคยเจอที่คล้ายๆกันมาแล้ว หลายๆข้อผมใช้คณิตศาสตร์ระดับที่สูงกว่า ม.ปลาย มาจัดการ แล้วค่อยเปลี่ยนมาเป็นภาษาง่ายๆ ยกตัวอย่างเช่น ข้อ 10. ของคุณ noonuii เมื่อผมเห็นอินทิกรัล $$ \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx$$ ผมดูออกว่าเป็น beta function ที่มีคำตอบลงตัว เสร็จแล้วผมก็เอาเทคนิคมาตรฐานสำหรับแปลง beta function มาใช้ จึงได้ว่าเราควรแทน $x^2$ ด้วย $\sin \theta$ ไม่ใช่ว่าเป็นอัจฉริยะอะไรหรอกครับ อยู่ดีๆผมคงไม่ปิ๊งขึ้นมาได้เองหรอกว่าควรแทนค่าด้วยอะไร ผมว่ามีอีกหลายๆคนที่ทำโจทย์ด้วยเทคนิคนี้ เพียงแต่เขาไม่ได้บอกว่าที่มาของวิธีคิดมาจากไหนเท่านั้นเอง ส่วนหนึ่งเพราะมันทำให้ต้องพิมพ์ยาวขึ้น และออกนอกเรื่องไปมากครับ อีกตัวอย่างนึงที่บอกที่มาของวิธีคิดด้วยก็คือ ที่คุณ nooonuii ทำโจทย์เรื่อง ring (น่านับถือมากครับ ในตอนนั้นที่ผมเห็นโจทย์ข้อนี้มีความรู้สึกเหมือนไม่เคยทำมาก่อนเลย แต่ตอนหลังมาเจอว่าตัวเองเคยจดบันทึกไว้ในหนังสือมาก่อนแล้ว และก็ยังมาเจออีกกว่าเคยอ่านบทความของ P. R. Halmos ที่พูดถึงวิธีคิดของโจทย์ข้อนี้เอาไว้ด้วย แต่ลืมสนิทหมดทุกอย่างเลยครับ สมองชักเสื่อมลงทุกวัน )

ยังไม่จบนะครับ ยังมีต่อถ้ายังมีคนอยากอ่าน และผมยังมีอารมณ์อยากพิมพ์

[R-Tummykung de Lamar]

อสมการโหดๆนี่
ผมลองผิดลองถูกไปตามเรื่องแหละ โชคดีก็ออกคำตอบ
ถ้า...ก็ เปิด solution หุหุ

[M@gpie]

หลักๆ ก็คงมีความเห็นเหมือนกับท่านอื่นๆครับ ส่วนที่จะเพิ่มก็คือ

จินตนาการในที่นี้ ผมคิดว่าหมายถึงการประยุกต์ใช้ นิยาม สูตร ทฤษฏี เพื่อช่วยในการแก้ปัญหาโจทย์ ต่างๆ
คนที่มีจินตนาการจริงๆ คงเป็นผู้แต่งโจทย์ มากกว่าครับ เพราะโจทย์ต่างๆ ไม่ใช่ว่าจะตั้งเล่นๆ ก็สามารถแก้ได้หมด ต้องมองเส้นทางวิธีการคิด ตลอดจนเทคนิคการคิด โดยเฉพาะโจทย์ระดับโอลิมปิก

ที่ คุณ pood เห็นว่าเหล่าจอมยุทธ์ทั้งหลายในบอร์ดสามารถแก้ปัญหาได้อย่างง่ายได้ นั่นย่อมเป็นเพราะว่า จอมยุทธ์นั้นมีประสบการณ์ในการต่อสู้(ทำโจทย์) สูง เป็นการสะสมมาเรื่อยๆ ครับ การหักโหมอาจะทำให้ธาตุไฟเข้าแทรก(รู้สึกท้อ เบื่อหน่าย ไม่อยากทำ) จนไม่อาจฝึกต่อได้ การฝึกที่ดีก็ไม่ควรจะข้ามขั้นเพื่อพื้นฐานที่มั่นคง ไม่ต้องรีบร้อนครับ ก็ค่อยๆสะสมไป เชื่อว่าซักวันก็คงทำได้ไม่ต่างกันครับ ในนี้มีสุดยอดจอมยุทธ์ ที่พร้อมจะสอนวิชาให้กับผู้มีสนใจคณิตศาสตร์ทุกๆท่าน โดยไม่หวงวิชา

ถ้าเรามีพื้นฐานความรู้ที่ดีแล้ว เทคนิค การทำโจทย์ต่างๆ จะเรียนรู้ได้ไม่ยากเย็นครับ
การเข้าใจเนื้อหาสำคัญกว่าสิ่งอื่นใด เพราะเราคงไม่สามารถจำเทคนิค หรือ โจทย์ทุกข้อๆ (อันนี้ต้องฝึกครับ)ได้
ต่ความเข้าใจเนื้อหาและมีวิธีการคิดที่ดีแล้วจะทำให้เราฟื้นฟูส่วนนั้นขึ้นมาได้อย่างรวดเร็วครับ


ปล.
1.ติดมาจากกระทู้ที่พูดถึงจอมยุทธ์ อิอิ
2.รอพี่ warut เขียนต่อครับ นานๆจะได้อ่านความคิดเห็นของพี่ๆ อิอิ

[nooonuii]

คราวนี้ลองมาดูว่าจินตนาการนั้นสำคัญกับการเรียนคณิตศาสตร์จริงๆครับ ตัวอย่างที่ผมจะยกมาให้พิจารณากันอยู่ในวิชา โทโพโลยี(Topology) ซึ่งเป็นวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง แต่เชื่อว่าจอมยุทธ์หลายๆท่านคงจินตนาการตามสิ่งที่ผมจะเล่าต่อไปนี้ได้แน่นอนครับ ลองดูนะครับ

คำพูดยอดฮิตที่นักคณิตศาสตร์ซึ่งเรียกตัวเองว่า Topologist ชอบเอามาอวดชาวบ้านชาวช่องกันก็คือ

"ในวิชา Topology เราสามารถทำถ้วยกาแฟกับโดนัทให้เป็นสิ่งเดียวกันได้"

เอ๊ะเหมือนกันได้ยังไง ทำได้ยังไง? ลองมาดูวิธีคิดนะครับ
สมมติว่าเรามีดินน้ำมันอยู่ก้อนนึง เราเอาดินน้ำมันก้อนนี้มาปั้นให้เป็นรูปถ้วยกาแฟ จากนั้นเราก็ยุบเอาส่วนที่เป็นตัวแก้วไปรวมไว้ที่หูแก้ว โดยการยุบนั้นให้เนื้อดินน้ำมันค่อยๆไหลลงไปที่ก้นแก้วก่อนแล้วค่อยๆยุบส่วนอื่นๆไปที่หูแก้ว เสร็จแล้วก็ขยำดินน้ำมันส่วนนี้ให้เนื้อดินน้ำมันขยายไปยังส่วนอื่นๆของหูแก้วเราก็จะได้โดนัทตามต้องการ

จะเห็นว่าในกระบวนการข้างต้นเราไม่มีการตัดหรือฉีกเนื้อดินน้ำมันให้ขาดออกจากกัน ซึ่งเป็นกระบวนการที่ยอมรับกันในเชิงโทโพโลยี กระบวนการนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่างอย่างต่อเนื่อง(continuous deformation) ซึ่งจะยังคงรักษาคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างเชิงโทโพโลยีของวัตถุไว้ได้ เราจึงมองว่าทั้งโดนัทและถ้วยกาแฟนั้นเป็นสิ่งเดียวกัน

กระบวนการทั้งหมดที่ผมเล่ามานั้นเกิดขึ้นในจินตนาการของผมล้วนๆครับ เพียงแต่ผมใช้ดินน้ำมันมาเป็นแม่แบบในการคิดอีกทีนึง

ลองดูอีกตัวอย่างนะครับ

ถามว่า ทรงกลมถ้าตัดจุดออกไปจุดนึงจะมีสัณฐานเหมือนกับรูปอะไร?

เวลาผมคิดโจทย์ข้อนี้ผมจะจินตนาการถึงลูกโป่งใบนึงครับ(สัณฐานลูกโป่งคือทรงกลม) เสร็จแล้วก็เอาเข็มมาเจาะรูลูกโป่งไปทีนึง(ทรงกลมตัดจุดทิ้งไปอันนึง) พอเราเจาะรูลูกโป่ง ลูกโป่งก็จะแตก พอลูกโป่งแตกมันก็จะแผ่ลงมาเป็นแผ่นแบนๆเหมือนกระดาษแผ่นนึง (ไม่นึกถึงว่ามันจะขาดไปบางส่วนนะครับ ลองคิดภาพแบบ slow motion เวลาลูกโป่งแตก เพราะเราไม่อนุญาตให้มีการฉีกขาดของเนื้อวัตถุ) ผมจึงได้ข้อสรุปว่าที่แท้ ทรงกลมเมื่อตัดจุดออกไปจุดนึงมันก็จะมีสัณฐาน(เชิงโทโพโลยี) เหมือนกับกระดาษแผ่นนึงนั่นเอง
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเอาทรงกลมมาตัดจุดออกไปสองจุดเราก็จะได้สัณฐานของสิ่งนี้เป็นวงกลม ลองฝึกคิดดูครับ

หากถามว่าดินน้ำมันกับลูกโป่งมาโผล่ในจินตนาการของผมได้ยังไง ผมว่าคงเป็นเพราะเมื่อก่อนผมเคยเล่นดินน้ำมันกับลูกโป่งมาก่อนนั่นเอง ดังนั้นจินตนาการของคนเราก็ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ชีวิตของคนๆนั้นด้วยครับ นี่คือตัวอย่างการใช้จินตนาการในการเรียนคณิตศาสตร์ของผมครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเอาทรงกลมมาตัดจุดออกไปสองจุดเราก็จะได้สัณฐานของสิ่งนี้เป็น...

ตอบว่ามีสัณฐานเหมือน โดนัท เหมือน ถ้วยกาแฟครับ ผม
ถูกไหมเนี่ย ^^

[pood]

Thank you! ค่ะท่านจอมยุทธ์ สรุปหลักๆ ก็คือ
1. เพียรพยามยาม
2.อาจเกิดจากการลองผิดลองถูก ซึ่งก็ทำให้เกิดประสบการณ์ อืมๆๆ
3.อาศัยประสบการณ์ที่ได้มาประยุกต์ใช้
4.แต่อย่าลืมว่า ระหว่างฝึกวิทยายุทธจะตองอย่างักโหม มิฉะนั้นธาตุไฟจะเข้าแทรก
5.อาศัยประสบการณ์ที่ตัวเองเจอมาในชีวิต ลองมาผสมผสานกับการทำโจทย์ดู

อิอิ ถูกป่าวเอ่ย ที่ข้าพเจ้าได้ลองสรุปจากที่อ่านมา

[gon]

ผมชอบลายเซ็นของ noonuii ตอนนี้ที่บอกว่า "ความพยายามไม่มี ปัญญาไม่เกิด"

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:


ตอบว่ามีสัณฐานเหมือน โดนัท เหมือน ถ้วยกาแฟครับ ผม
ถูกไหมเนี่ย ^^

ถูกครับ ถ้าเรามองว่าโดนัทมันตัน แต่ปกติโดนัทที่เรากล่าวถึงใน โทโพโลยีซึ่งเรียกว่า Torus จะมีรูข้างในส่วนที่เป็นวงอีกทีนึงครับ ซึ่งอันนี้จะไม่เหมือนกับโดนัทตัน

ตัวอย่างของวัตถุรูป Torus ที่น่าสนใจมากๆก็คงจะเป็น เจ้าเครื่อง Tokamak ซึ่งเอาไว้ผลิตพลังงานจากปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชัน นี่ล่ะครับ ลองเข้าไปดูที่นี่ครับ
http://www.vcharkarn.com/include/art...le.php?Aid=302

[warut]

ตัวอย่างของของที่มี topology เป็น torus ที่หลายๆคนอาจนึกไม่ถึงก็คือ เกมคอมพิวเตอร์รุ่นโบราณ ที่เวลาตัวที่เราเล่นเดินมาจนถึงขอบด้านขวา ก็จะทะลุไปโผล่ทางด้านซ้าย ถ้าไปจนสุดด้านบนก็จะทะลุมาออกทางด้านล่าง แบบนี้ก็จะถือว่าบอร์ดมี topology เป็นแบบ torus เหมือนกันครับ

อ่านกระทู้นี้แล้ว ทำให้ทราบว่าที่ตัวเองเรียน topology ไม่รู้เรื่องนี่คงเป็นเพราะขาดจินตนาการนี่เอง จำได้ว่าในวิชานี้ อาจารย์เคยสอนทฤษฎีอันหนึ่ง เสร็จแล้วอาจารย์เค้าก็สาธิต โดยเอากระดาษมาแผ่นนึง แล้วก็ขยำๆ แล้วก็พูดอะไรสักอย่างนี่แหละ แต่ผมไม่รู้เรื่องแฮะ สงสัยจะขาดจินตนาการอย่างแรง

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ตัวอย่างของของที่มี topology เป็น torus ที่หลายๆคนอาจนึกไม่ถึงก็คือ เกมคอมพิวเตอร์รุ่นโบราณ ที่เวลาตัวที่เราเล่นเดินมาจนถึงขอบด้านขวา ก็จะทะลุไปโผล่ทางด้านซ้าย ถ้าไปจนสุดด้านบนก็จะทะลุมาออกทางด้านล่าง แบบนี้ก็จะถือว่าบอร์ดมี topology เป็นแบบ torus เหมือนกันครับ

ว้าว เป็นตัวอย่างที่ดีมากเลยครับ Torus แบบนี้เกิดจาก identification ของระนาบครับ
อันนี้ลองทำดูได้ง่ายๆ หยิบกระดาษมาแผ่นนึง เอาเทปกาวมาปิดขอบกระดาษที่อยู่ตรงข้ามกัน จะได้ทรงกระบอก จากนั้นเอาปลายทรงกระบอกมาเชื่อมต่อกันอีกทีจะได้รูป Torus ครับ

[R-Tummykung de Lamar]

หุหุ นึกถึงเกม "เจ้างูน้อย หรือ snake" ในโทรศักท์มือถือเลยครับ อิอิ
ทะลุไปด้านบนแล้วไปโผล่ด้านล่าง

[warut]

ตอบต่อครับ ที่ผมตอบไปช่วงแรก สรุปว่ามันก็คือเรื่องของประสบการณ์นั่นเอง

ตอนต่อไปก็คือเรื่องความอึด แน่นอนครับไม่ใช่โจทย์ทุกข้อจะสามารถทำสำเร็จได้ในเวลาอันสั้น ดังนั้นถ้าทำข้อไหนไม่ได้ ก็อย่าเพิ่งรีบยอมแพ้ หายเหนื่อย/เบื่อแล้วก็กลับมาคิดใหม่ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ก็ลองเปลี่ยนไปใช้วิธีอื่น โจทย์หลายๆข้อที่เอามาโพสต์กันที่นี่ ผมต้องใช้เวลาหลายวันกว่าจะคิดออก ถึงทำไม่สำเร็จเลย ก็ยังมีประโยชน์มากตอนเห็นเฉลย เพราะจะทำให้เข้าใจเฉลยได้เร็วมาก และทำให้รู้ว่าจุดไหนที่ทำให้เราคิดไม่ออก แต่ว่าก็ต้องรู้จักเลือกโจทย์หน่อยครับ ควรจะเริ่มจากโจทย์ที่มีแหล่งที่มาที่น่าเชื่อถือ ไม่งั้นเดี๋ยวก็โดนหลอกให้ไปทำข้อที่มันไม่มีทางทำได้ ถ้าเป็นไปได้ควรเลือกโจทย์ที่มีเฉลย เพื่อเราจะได้ตรวจสอบได้ เฉลยในที่นี้ไม่ได้หมายถึงเฉพาะที่อยู่ท้ายเล่มหนังสือ แต่อาจเป็นคนที่ช่วยตรวจสอบให้เราได้ก็ได้ครับ และสุดท้ายก็คือเริ่มจากโจทย์ง่ายๆก่อน เท่าที่นึกได้ตอนนี้ก็มีแค่นี้แหละครับ

อีกเรื่องก็คือ อุปกรณ์เสริมที่จะช่วยเรา ในยุคนี้มีเครื่องมือที่สามารถช่วยเราได้อย่างมากๆ เพิ่มขึ้นมาอีก 2 อย่างครับ

1. Internet ประโยชน์ของมันมากมายก่ายกอง ยากที่จะพูดให้หมดครับ มันทำให้เกิดเว็บบอร์ดนี้ขึ้นมาให้เราปรึกษาคนอื่นได้ มี search engine อย่าง Google ให้ใช้ มี online math tools อย่างเช่นที่
http://www.math.com/students/solvers/online_solvers.htm

ดังนั้นใช้มันให้คุ้ม อย่างถูกต้องครับ จะได้ไม่ต้องเที่ยวไปพึ่งคนอื่นโดยไม่จำเป็น

2. คอมพิวเตอร์/เครื่องคิดเลข มันช่วยเช็คคำตอบให้เราได้โดยไม่ต้องไปถามคนอื่น มันไร้สาระมากๆถ้าจะเข้ามาที่ mathcenter เพียงเพื่อจะถามว่า $\sin30 ^\circ$ มีค่าเท่าไหร่ scientific calculator ของ Windows มีประโยชน์มากครับ แม้แต่ gamma function มันก็คิดได้ (โดยหาในรูปของ factorial) ในระดับที่ advance ขึ้นไปก็ควรฝึกใช้โปรแกรมสำเร็จรูปอย่าง Mathematica หรือ Maple เวลาใช้เป็นแล้ว เราจะได้เขียนโปรแกรมสั่งให้มันเช็คคำตอบต่างๆให้เราได้

อย่างสุดท้ายคือเรื่องของทักษะเสริม ซึ่งที่ผมจะพูดมีอยู่ 2 อย่างครับ

1. ภาษาอังกฤษ จำเป็นมากๆๆครับ ถ้าภาษาอังกฤษดีมันจะช่วยได้มากมายหลายเรื่อง พูดไปก็ไม่หมด ทำให้เราใช้ตำราฝรั่งได้ ไม่ต้องไปง้อรอตำราภาษาไทยเลยครับ

2. LaTeX ถ้าคิดจะเอาจริงทางสายคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ไม่ช้าก็เร็วหนีไม่พ้นแน่ ถ้ามีเวลาหัดได้ก็หัดไว้ครับ บางทีการส่งข้อความจำเป็นต้องส่งเป็น plain text เราก็ต้องใช้ LaTeX นี่แหละคุยกัน

ผมไม่เคยตอบกระทู้อะไรทำนองนี้มาก่อน เพราะผมไม่ใช่คนเรียนเก่ง คนฉลาด หรือคนที่ประสบความสำเร็จอะไร กว่าผมจะเข้าใจอะไรได้ก็ต้องใช้เวลามากกว่าพวกอัจฉริยะ แต่ครั้งนี้ที่เขียนเพราะคิดว่าบางทีมุมมองของผม อาจมีประโยชน์สำหรับคนทั่วๆไป ที่ไม่ได้ตั้งเป้าไปถึงระดับโอลิมปิกได้บ้างครับ