ข้อสอบ 4th TMO ณ ร.ร.เตรียมทหาร

[Mathophile]

ขอบคุณสำหรับคำอธิบายของคุณ [Tong]_1412 ครับ

ตอบคุณ [Tong]_1412
ตอนนี้ผมยังไม่มีเฉลยในมือครับ แต่เคยเห็นเฉลยผ่าน ๆ รู้สึกจะแบ่งกรณีคล้าย ๆ กับที่คุณ [Tong]_1412 ทำน่ะครับ

ข้อ 2 วันที่ 2 ผมไม่แน่ใจว่าจะใช้ Induction ได้หรือเปล่า แต่คิดว่าน่าจะใช่ครับ ลองคิดกันดูครับ

ปล. คุณ [Tong]_1412 ได้สอบ สอวน. ครั้งนี้หรือเปล่าครับ

[CmKaN]

ข้อ16 คือไม่แน่ใจว่าทำอย่างนี้จะได้ไหมน่ะครับ
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่มีจำนวนตัวหารที่เป็นบวกเท่ากับ 24ตัว
ไม่รู้เขาเรียกว่าทฤษฏีอะไรแล้วน่ะครับที่หาจำนวนตัวหารอะครับ เช่น
$18 =2^{1}\times{3^{2}}$ เอาเลขชี้กำลังมาบวก1แล้วคูณกัน ได้ตัวประกอบบวกของ18=6ตัว
จากข้างบนจะได้ว่า $24=2\times{2}\times{2}\times{3}$
ซึ่งจะได้จำนวนๆคือ
$x^{24-1},x^{8-1}y^{3-1},x^{12-1}y^{2-1},x^{6-1}y^{4-1},x^{4-1}y^{2-1}z^{3-1},x^{2-1}y^{2-1}z^{2-1}q^{3-1}$
=$x^{23},x^{11}y^{1},x^{7}y^{2},x^{5}y^{3},x^{3}y^{1}z^{2},x^{1}y^{1}z^{1}q^{2}$
ซึ่งการที่จะได้จำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดจำนวนที่มีเลขยกกำลังสูงสุดต้องเป็น 2 จึงจะมีค่าต่ำที่สุด ตัวที่เลขชี้กำลังลองลงมา
ต้องเป็น 3 ลองลงมาต้องเป็น 5 เนื่องจากถ้าเป็นสี่ทำให้เป็น $2^{2}$ ทำให้ค่าย้อนกลับคลาดเคลื่อน ถัดมาก ็7 ได้
$2^{23}$
$2^{11}\times{3}$
$2^{7}\times{3^{2}}$
$2^{5}\times{3^{3}}$
$2^{3}\times{3^{2}}\times{5}$
$2^{2}\times{3}\times{5}\times{7}$
ซึ่งจะได้ $2^{3}\times{3^{2}}\times{5}=360$เป็นจำนวนที่น้อบที่สุด

ถ้าผิดพลาดก็ขออภัยด้วยน่ะครับ

[[Tong]_1412]

ทฤษฎีของคุณ CmKaN รู้สึกจะเป็นเทคนิคเชิงการนับเฉย ๆ มั้งครับ ผมก็เรียกไม่ถูกเหมือนกัน

อ่อ สอวน.ครั้งที่ 4 ผมไปมาเหมือนกันครับ แล้วคุณ Mathophile และสมาชิกใน Mathcenter ละครับใครได้ไป สอวน. ครั้งที่4 บ้างครับ

[Mathophile]

คุณ CmKan ทำถูกต้องแล้วครับ
ทฤษฏีที่คุณ CmKan พูดถึงเรียกว่า "ฟังก์ชันเทา (Tau Function)" ครับ เป็นฟังก์ชันเลขคณิตฟังก์ชันหนึ่งซึ่งนิยามว่า

ให้ $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$ เมื่อ $p_1,p_2,...,p_k$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ $a_1,a_2,...,a_k$ เป็นจำนวนนับ จะได้ว่า
$\tau (n)=$ จำนวนตัวหารบวกของ $n=\displaystyle{\prod_{i = 1}^{k}(a_i+1)}$

สำหรับวิธีพิสูจน์สามารถหาดูได้ในหนังสือทฤษฎีจำนวน ของ สอวน. เรื่องฟังก์ชันเลขคณิตครับ

สอวน. ครั้งที่ 4 ผมก็ได้ไปสอบเหมือนกันครับ

[passer-by]

เพิ่งปิ๊งไอเดียวันนี้ สรุปว่าข้อ 11 วันแรก ตอบ $ 3^{2549}$ หรือเปล่าครับ (จริงๆมันเหลืออีกข้อ แต่คุณ Mathophile ให้ แนวไว้แล้ว คงไม่ต้อง post)

ระหว่างที่รอคนมาเช็คคำตอบ ผมขอแปะวิธีคิดของผมไว้ก่อนแล้วกัน

จาก range ของฟังก์ชัน จะเห็นว่า หารด้วย3 แล้วเหลือเศษ 0,1,2 พอดี ดังนั้น จำนวนฟังก์ชันข้อนี้ จึงเทียบเท่ากับจำนวน integer solutions ของสมการ

$ f_1+f_2+\cdots f_{2550}= 0,3,6,\cdots 2(2550) $ เมื่อ $ 0 \leq f_i \leq 2$

ผมจะแก้ปัญหานี้ โดยใช้ generating function มาช่วยในขั้นแรก โดยเปลี่ยนปัญหาเป็น

ถ้า $a_i$ คือ สปส.ของ $x^i $ จากการกระจาย $(1+x+x^2)^{2550}$ แล้ว หาค่า $ a_0+a_3+\cdots a_{2(2550)}$ ออกมา ก็จะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการ

เพราะ $(1+x+x^2)^{2550} = a_0+a_1 x +a_2 x^2+\cdots a_{2(2550)} x^{2(2550)} $

แทนค่า $ x= \omega , \omega^{-1} ,1 $ ลงไป (เมื่อ $ \omega^3=1 \,\, , \omega \neq 1 $)

จากนั้นก็จับ 3 สมการบวกกัน ก็จะได้คำตอบครับ

[Mathophile]

คำตอบของคุณ passer-by ถูกต้องแล้วครับ