จาก American maths monthly

[passer-by]

มีคำถามมาฝาก 2 ข้อครับจาก American Maths monthly เพิ่งได้มาสดๆร้อนๆ ผมเองก็ยังไม่ได้เริ่มคิดเหมื่อนกัน

1. Prove \[\large \int_{0}^{\infty} \frac{x^{8}-4x^{6}+9x^{4}-5x^{2}+1}{x^{12}-10x^{10}+37x^{8}-42x^{6}+26x^{4}-8x^{2}+1}\quad dx \quad =\frac{\pi}{2} \]

2. Evaluate \[\large \lim_{n\rightarrow \infty} n ln(1+ln(1+(...ln(1+ \frac{a}{n})...))) \] (a is positive constant and parentheses nested to depth n)

[warut]

ว้าวๆๆ...เดี๋ยวนี้เราจะเล่นกันระดับนี้แล้วเหรอครับ ตัวผมเองคงทำโจทย์ระดับ AMM ไม่ไหวแน่ แต่สำหรับข้อ 1. ผมสังเกตเห็นอะไรบางอย่าง ซึ่งผมก็ไม่รู้ว่ามันจะมีประโยชน์อะไรไหมสำหรับผู้ที่จะพยายามทำข้อนี้ แต่ไหนๆก็เสียเวลาคำนวณมาหลายชั่วโมงแล้วก็ขอเอามาแปะทิ้งไว้ซะหน่อยนะครับ

ที่ผมเห็นคือ ถ้าใช้ partial fraction ตัว rational function ที่เป็น integrand นั้นจะสามารถเขียนได้ในรูป\[\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)^2}{q(x)}+
\frac{(x-1)^2}{q(-x)}\right)\]โดยที่\[\begin{array}{rcl}q(x)&=&
x^6+4x^5+3x^4-4x^3-2x^2+2x+1\\
&=&(x^3+2x^2-x-1)^2+(x^2+x)^2\\
&=&s(x)\cdot t(x)\end{array}\]และ\[s(x)=
x^3+(2-i)x^2-(1+i)x-1\]\[t(x)=
x^3+(2+i)x^2-(1-i)x-1\]จะเห็นว่าถ้า \(r\) เป็นรากของ s(x) แล้ว \(\bar r\) จะเป็นรากของ t(x) ครับ

[passer-by]

ผมว่าสิ่งที่คุณ warut เขียน ก็ช่วยได้เยอะระดับหนึ่งแล้วนะครับ

อย่างน้อย ตอนนี้ ก็ทำให้ผม simplify left hand side เป็น
\[ \large L.H.S.= \frac{1}{2} \int_{-\infty
}^{\infty}\frac{(x+1)^{2}}{x^{6}+4x^{5}+3x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+2x+1} \quad dx \]
พอปรับเป็นฟอร์มนี้ได้ สิ่งแรกที่ผมนึกถึงก็คือ Residue integration ซึ่งยอมรับว่า จำวิธีการหา residue ไม่ค่อยได้แล้วเหมือนกัน แค่จำได้คลับคล้ายคลับคลา ว่า เวลาเจอคำถามประเภทนี้ทีไร คำตอบมันต้องติด p บ่อยมาก เพราะสูตรมันติด 2pi คูณกับอะไรซักอย่างเนี่ยแหละครับ
แต่ พอเห็นตัวส่วนของ integrand ก็หวั่นๆเหมือนกัน

[warut]

เยี่ยมไปเลยครับคุณ passer-by ผมอุตส่าห์คิดอยู่ตั้งนานกลับมองไม่เห็นสมมาตรอันนี้

ผมได้ลอง numerically integrate โดยใช้ residue theorem ตั้งแต่ก่อนจะเห็นการ simplify ของคุณ passer-by แล้วครับ ผลก็ออกมาอย่างที่ควรเป็น แต่ถ้าทำจากอันที่ simplify แล้วนี่จะยิ่งง่ายเข้าไปใหญ่เลยครับ การพิสูจน์ของข้อนี้จะจบลงทันทีถ้าใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า\[\sum_{j=1}^3\frac{(r_j+1)^2}{s'(r_j)t(r_j)}=
-\frac{i}{2}\]โดยที่ \(r_1,r_2,r_3\) คือรากที่ต่างกันของ s(x) ครับ

[warut]

ผมโง่มากเลยดันไปใช้ s(x)t(x) แทนที่จะใช้ q(x) ไปก่อนจนกว่าจะถึงตอนสุดท้าย จะได้ไม่ต้องไปยุ่งกับ complex numbers ตั้งแต่แรก ครับ...ดังนั้นขอเปลี่ยนเป็นการแสดงว่า\[\sum_{j=1}^3\frac{(r_j+1)^2}{q'(r_j)}=
-\frac{i}{2}\]จาก gcd(q(x), q'(x)) = 1 เราจะหาได้ว่า f(x)q(x) + g(x)q'(x) = 1 โดยที่\[f(x)=
\frac{1}{37}(366x^4+1013x^3+159x^2-816x+243)\]\[g(x)=
-\frac{1}{74}(122x^5+419x^4+129x^3-559x^2+82x+206)\]แต่เรารู้ว่า q(r_j) = 0 ดังนั้น 1/q'(r_j) = g(r_j) และเราจึงได้ว่า\[\sum_{j=1}^3\frac{(r_j+1)^2}{q'(r_j)}=
\sum_{j=1}^3(r_j+1)^2g(r_j)\]ถ้าเรานำ s(x) ไปหาร (x + 1)²g(x) จะเหลือเศษคือ\[-\left(\frac{6+i}{74}\right)(x^2+2x+2i)\]ดังนั้น\[\sum_{j=1}^3(r_j+1)^2g(r_j)=
-\left(\frac{6+i}{74}\right)\sum_{j=1}^3r_j^2+2r_j+2i\]ที่เหลือจึงเป็นแค่การหาว่า \(r_1+r_2+r_3\) และ \(r_1^2+r_2^2+r_3^2\) มีค่าเท่าไหร่

เนื่องจาก \(-(r_1+r_2+r_3)\) เป็นสัมประสิทธิ์ของ x² ใน s(x) ดังนั้น\[r_1+r_2+r_3=
-2+i\]และเนื่องจาก \(r_1^2+r_2^2+r_3^2\) เป็นสัมประสิทธิ์ของ x⁴ ใน s(x)s(-x) ดังนั้น\[r_1^2+r_2^2+r_3^2=5-2i\]เราจึงได้ผลลัพธ์ตามต้องการครับ

เย่...พิมพ์เสร็จทันไปดูฟงอวิ๋นพอดีเลย

[passer-by]

ต้องบอกว่า วิธีทำคุณ warut ช่วย recover ความรู้เกี่ยวกับ residue theorem ของผม กลับมาได้ดีเลยครับ
หลังจากที่อ่านแล้วก็ clear มากๆ แต่ยังมีที่ผมติดใจอยู่ 2 อย่างครับ

1. จำได้ว่าตอนใช้ residue theorem คิดเฉพาะ zeros ที่อยู่บน upper-half plane ไม่ใช่เหรอครับ ถ้าคุณ warut take summation แค่ j=1,2,3 แสดงว่า คุณ warut ก็ต้องมั่นใจว่า รากของ s(x)=0 อยู่บน upper-half plane ทั้งหมด
อะไรที่ทำให้คุณ warut มั่นใจเช่นนี้ครับ

2. ตอนหา gcd ของ polynomial คุณ warut ใช้ software เป็นหลักหรือ manual ครับ เพราะผมเห็น f(x),g(x) น่ากลัวมากๆ

ดูฟงอวิ๋นจบ แล้วช่วยตอบด้วยนะครับ คุณ warut คนเก่ง

[Punk]

ข้อสอง น่าจะได้ limit เท่ากับ \( a\,\, \) (เดาครับ)
คือผมได้ upper bound คือ \( a \)

[warut]

ที่ทราบว่ารากทั้งหมดของ s(x) อยู่บน upper half ของ complex plane ก็เพราะผมให้คอมพ์ใช้ numerical analysis หาค่าประมาณออกมาครับ

r₁ ป 0.7095460805 + 0.3395106413i
r₂ ป -0.5627551133 + 0.1117614504i
r₃ ป -2.1467909672 + 0.5487279084i

เนื่องจาก s(x) มีดีกรีเท่ากับ 3 ดังนั้นถ้าจะหา exact roots ก็ย่อมทำได้ ใครมีวิธีที่ดีกว่าก็ช่วยแนะด้วยนะครับ เนื่องจากว่าถ้า \(r\) เป็นรากของ s(x) แล้ว \(\bar r\) จะเป็นรากของ t(x) ดังนั้นรากของ t(x) ทุกอันจึงอยู่ใน lower-half plane นั่นคือรากทั้งหมดของ q(x) = s(x)t(x) ที่อยู่บน upper-half plane ก็คือรากทั้งสามของ s(x) นั่นเองครับ

ตอนหา gcd นี้ใช้คอมพ์แน่นอนครับ จะว่าไปแล้วก็ต้องใช้ computer algebra system ทุกช่วงแหละครับ แม้แต่ตอนที่ไม่ได้แสดงไว้ก็ต้องใช้เยอะครับ อย่างตอนที่ได้ q(x) ออกมาจาก partial fraction ผมก็ให้ PARI คำนวณหา Galois group ของมันดู ทำให้ทราบว่า q(x) เป็น solvable sextic ชนิดที่ว่า sextic number field ที่ generated โดยรากของมันมี quadratic subfield แต่ไม่มี cubic subfield แต่ถึงรู้อย่างนี้ก็ยังยากที่จะแก้สมการกำลัง 6 อันนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับตัวผมที่ไม่เคยแก้ sextic หรือ quintic มาก่อนเลย เลยเสียเวลามั่วอยู่นานมากครับกว่าจะรู้ว่า quadratic subfield อันนั้นที่แท้ก็คือ Gaussian number field \(\mathbb Q(i)\) นั่นเอง ถ้ามองย้อนกลับไปจะเห็นว่าเราไม่จำเป็นต้องใช้ความรู้ว่า q(x) = s(x)t(x) ก็ได้เพียงแต่เราจะต้องหาค่าของ\[r_1^n+r_2^n+r_3^n,
\quad n=1,\dots,5\]แทนครับ

โจทย์ที่คุณ passer-by เอามาเป็นของ AMM ฉบับไหนครับ แล้วคุณ passer-by สนใจเรื่อง submit คำตอบไปรึเปล่าครับ

ป.ล. ถ้าจำไม่ผิดเคยมีคนที่ใช้ชื่อว่า "เจ้าอ้วน" ถามมาเรื่องหนังสือเกี่ยวกับ Galois Theory ซึ่งผมก็ตอบให้ไม่ได้ อันนี้ไม่ใช่อมภูมินะครับ แต่ตัวผมเองก็ยังงูๆปลาๆอยู่เลย มั่วไปก็ไม่น้อย ถ้าผมรู้จริงเมื่อไหร่ก็จะบอกให้แน่นอนครับ

[passer-by]

คุณ warut ตอบมาแบบหมดเปลือกเลยนะครับเนี่ย แต่ก็สารภาพว่า ตรงที่คุณ warut พูดถึง galois group ก็มึนๆอยู่เหมือนกันครับ เพราะตอนผมเรียน abstract algebra ยังไม่ถึง galois theory

ที่ผมสะดุดตาที่สุด เห็นจะเป็นโปรแกรม PARI ที่คุณ warut ใช้ครับ เพิ่งเคยได้ยินเป็นครั้งแรก ผมเดาว่าน่าจะเป็นโปรแกรมที่ถูก design ไว้ solve ปัญหาประมาณ irreducible, reducible polynomial หรืออะไรแนวๆนี้ ใช่มั้ยครับเนี่ย

สำหรับประเด็นเรื่อง คำถามนี้มาจาก AMM เล่มไหน ก็ต้องตอบว่า เป็น ฉบับเดือน เมษายน 2005 ครับ แต่น่าจะเลย deadline ส่งคำตอบแล้ว ยังไงเดี๋ยวผมกลับไปที่หอสมุดกลาง ไป check ให้อีกทีแล้วกันนะครับ
(ขอเผานิดนึงว่า ในบรรดา magazine ต่างประเทศ ที่ส่งมาที่หอสมุดกลางเนี่ย AMM delay ที่สุดแล้วครับ)

ส่วนเรื่อง submit ก็สนใจครับ แต่สำหรับข้อนี้ ถ้าจะส่ง คงส่งในชื่อคุณ warut ดีกว่าครับ เพราะ 90-95% เป็นความพยายามหลายชั่วโมงของคุณ warut

[passer-by]

มาแล้วครับ สำหรับข้อมูล เผื่อคุณ warut หรือใครก็ตามที่สนใจจะ submit solution ,click ดูข้อมูลด้านล่างได้เลยครับ

click it

American maths monthly Vol. 112 , Number 4 , April 2005
Question 11148 (integrate) page 366
Question 11149 (limit) page 367

Proposed problems or solutions should be sent to
Doug Hensley ,Monthly Problems
Department of mathematics
Texas A&M University
College Station , TX 77840
(please send 2 copies of all materiral, typewritten on only one side of the paper)

Submitted solutions should have arrive at address above before August 31,2005. Additional information,such as generalizations and references, is welcome. The problem number and the solver's name and address should appear on each solution. An acknowledgement will be sent only if a mailing label is provided.

[warut]

อืม...สงสัยจะ submit ไม่ทันจริงๆด้วยล่ะครับ คงมีคนส่งกันไปเยอะแล้วด้วยมั้ง และผมก็คิดว่าน่าจะมีคำตอบที่ง่ายและดีกว่านี้นะครับ

PARI นี่เป็นโปรแกรมที่มีความชำนาญเป็นพิเศษทางด้าน number theory เป็นที่รู้จักกันทั่วไปในหมู่ number theorists ครับ ผมเองก็เพิ่งหัดใช้คราวนี้แหละ ข้อดีคือฟรี แต่อันที่น่าจะเหนือกว่ามากคือ Magma แต่แพงสุดๆครับ พวกนี้เป็นโปรแกรมเฉพาะทางเหมือนอย่าง GAP ที่ใช้สำหรับ group theory โดยเฉพาะ ต่างจาก Mathematica หรือ Maple ซึ่งเป็นประเภท general purpose น่ะครับ

ยังไงก็ขอบคุณมากนะครับสำหรับข้อมูลต่างๆรวมทั้งโจทย์ที่นำมาแบ่งปันให้กับทุกๆคน ใจก็สปอร์ต ฝีมือก็สูงส่ง ถ้าคุณ passer-by ไม่ป้องกันตัวเองไว้ คงโดนผมให้คะแนน 5 ดาวไปแล้วล่ะครับ

[passer-by]

คำถามที่จะ post ต่อไปนี้ มาจาก AMM เดือน มกราคม 2005 ครับ ซึ่งผมแปลกใจมากๆ ว่า ระบบการส่งหนังสือมันแปลกๆ ทำไม เล่มของเดือน เมษายน ถึงมาก่อนเดือน มกราคม

ส่วนใครจะ submit solution คงไม่ทันซะแล้ว เพราะ deadline คราวนี้ หมดไปตั้งแต่ ปลาย พ.ค. 2005
ก็เอาไว้ทำเล่นๆ แล้วกันนะครับ

3. เอาใจคอ อสมการ

Prove that when 0< xฃy<p/2
\[ \large \Big(\frac{cosxsiny}{sinxcosy}\Big )^{sinxsiny}\leq exp((\sqrt{cos(x-y)}(\sqrt{\frac{cosx}{cosy}}-\sqrt{\frac{cosy}{cosx}}))
\]
(Problem from USA)

4. เอาใจคอ number theory

Find all solutions in integers m,n to
\[ \large 1997^{1001}(m^{2}-1)-2m+5 = 3{2003^{2004} \choose n} \]

(Problem from Turkey)

[Punk]

ข้อสองผมได้คำตอบคือ \( a \)

ให้ \( b_n \) แทนเทอมที่ \( n \) ที่ต้องการหาลิมิต
โดยอสมการของ Erdos จะได้ว่า
\[ b_n\leq a\]
สำหรับทุก \( n \) ดังนั้นลิมิตที่ต้องการน้อยกว่าหรือเท่ากับ \( a \)

สำหรับ estimation ทางซ้ายมือ ให้ \( \lambda_n:=\ln a-\ln\left(n\ln(1+a/n)\right)\geq0 \) จะได้ว่า
1. ถ้า \( n\geq N \) แล้ว \( b_n\geq e^{-n\lambda_N}a \)
2. \( \lim_{n\to\infty}n\lambda_n\to0 \)

จากทั้งสองข้อเราจึงได้ว่า
\[
b_n\geq e^{-n\lambda_{n}}a\to a
\]
เมื่อ \( n\to\infty\)

[passer-by]

อยากเห็นหน้าตาของ อสมการ Erdos ครับ

[Punk]

ผมไม่แน่ใจว่าเขาเรียกชื่อนี้หรือเปล่านะครับ อสมการที่ว่าคือ
\[
x\geq\ln x+1,\qquad\forall x>0
\]