สอวน เข้ารอบ 3 ที่เกษตร

[SPLASH]

ขอโทษที่เขียนผิดไปบ้าง
เเละขอขอบคุณที่ยังช่วยตอบกระทู้ของผมครับ

[warut]

ก็ไม่จริงอยู่ดีล่ะครับ เช่น $\tau(4)=3>\sqrt4$

[SPLASH]

ข้อ นั้นอาจจะมีอะไรเพิ่มจากนั้นก็ได้ ขอโทษอย่างยิ่งเลยนะครับ เดี๋ยววันหลังจะคอยไปดูอีกทีครับ
ครับอยากได้ข้อเเรกมาเลยอ่าครับ เรื่องรังนกพิราบ ทำไม่ได้เลย

[[Tong]_1412]

ข้อหนึ่ง ถ้าใช้ นิเสธเข้าไปได้ไหมคับ อันนี้ไม่รู้เหมือนกัน แต่ถ้าใช้ได้ ไม่แน่ใจว่าจะเป็น " จะไม่มีนักเรียนคนใดเลยที่ เลขประจำตัวเป็นสองเท่าของนักเรียนคนหนึ่ง และ เป็นผลรวมของนักเรียนสองคน ในระดับชั้นเดียวกัน"
อันนี้ไม่แน่ใจเหมือนกัน นะครับ แต่ถ้าเป็นจริงก็ยกตัวอย่างคัดค้านได้ไหมคับ

[[Tong]_1412]

ส่วนข้อ เชวา เมเนรอส ก็ไม่ได้เหมือนกันคับ รอคนมาเฉลย เหมือนกันคับ ^^

[SPLASH]

ช่วยเฉลยด้วย
ข้อ 1 จะตายตัวเเละนกพิราบ มากกว่า 1 ครั้งเเละ ข้อ 1เนี่ยเเหละคะเเนนสุงสุดในการสอบครั้งนี้
ข้อ 2 น่าจะ phi ฟังก์ชัน เนื่องจาก $\phi(p)=p-1$
เเละคงเเบ่งออกเป็นหลาย case
คือ p=2 เเละ pเป็นจำนวนคี่
ส่วนเชวากับเมเนลอส ทำได้ทุกข้อ ยกเว้นข้อสุดท้าย ส่วนข้อ 5 เปลี่ยนจากเเนบนอกเป็นล้อมรอบ

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SPLASH

มันเเบ่งออกเป็นสองวันนะครับ
เเต่จะเอาเเต่ข้อที่ดูไม่ยากเเละน่าสนใจ เเละข้อที่ทำไม่ได้มานะครับหวังว่าทุกคนคงจะสนใจ

เอาข้อเเรกข้อนี้ทำไม่ได้
ในโรงเรียนsovn เเห่งหนึ่งมีอยู่ 6 ชั้น เด็กนักเรียนมีเลขประจำตัวคือ 1,2,3,...,2007 ผู้อำนวยการผู้มีความเป็นเลิศทางคณิตศาสตร์เลยคาดเดาว่า มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่มีเลขประจำตัว เป็นผลบวกของนักเรียน 2 คนในระดับชั้นเดียวกัน หรือไม่ก็เป็น 2 เท่าของอีกของคนนึงในระดับชั้นเดียวกัน ถ้าคุณเป็นคนที่มีความเป็นเลิศเช่นเดียวกันช่วยบอกได้ไหมผู้อำนวยการพูดถูกหรือไม่คุณจงเเสดงให้เห็นด้วย

ผมไม่สามารถทำข้อนี้ได้ แต่พอจะออกความเห็นได้ดังนี้ครับ

ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์เกี่ยวกับ Ramsey Theory พูดให้เจาะจงลงไปคือ Schur's Problem ซึ่งผลของมันคือ

ถ้าหากเซต $\{1, 2, \dots, m\}$ ถูกแบ่ง (partition) ออกเป็น $n$ เซต โดยที่ $m\ge\lfloor n!e\rfloor$ จะต้องมีอยู่อย่างน้อยเซตนึง สมมติให้ชื่อ $S$ ที่มี $x,y,z\in S$ และ $x+y=z$

ซึ่งในที่นี้จะเห็นว่า $\lfloor 6!e\rfloor =1957<2007$ ดังนั้นผู้อำนวยการจึงพูดถูกครับ

ส่วนเรื่องอื่นนอกเหนือจากนี้ (เช่นการพิสูจน์) คงต้องให้คนอื่นมาตอบแล้วล่ะครับ

[[Tong]_1412]

ไม่เห็นเคยเจอ ทบ. นี้เลยคับ ยัง งงๆ อยู่เลย

[SPLASH]

ขอเเก้ด่วนเลยนะครับ ข้อสอง nเป็นจำนวนนับ เเละข้อ5 n,kนับเช่นกาน

[nooonuii]

ไม่มีใครเอาข้อสอบเต็มๆมาลงได้เลยเหรอครับ หรือว่าต้องจำกันออกมา

[[Tong]_1412]

ข้อหนึ่ง ถ้าผมแทน ให้ U แทน {1,2,3.....,2007}

แล้วให้ สิ่งที่ต้องการพิสูจน์ที่ครูใหญ่พูด เป็น $\exists x\exists y\exists z\exists {k[(x=y+z)\vee (x=2k])}$
แล้วจะพิสูจน์ใช้นิเสธ
คือ $\forall x\forall y\forall z\forall k[(x\not= y+z)\wedge (x\not= 2k)]$
แต่เมื่อเลือก x=2000 y=1001 z=999 และ k=1000
มันก็ผิดแล้วอ่าคับ
แต่ผมไม่รู้ว่า มันผิดตรงไหนอ่าคร้าบ
ช่วยชี้แนะด้วย

[warut]

ก็นี่มันยังไม่ได้แบ่งคนทั้ง 2007 คนออกเป็น 6 ชั้นเลยนี่ครับ

[[Tong]_1412]

เอ่ออออออออออออออออ

[kartoon]

เฉลยข้อ 1 ตามนี้เลยครับ

ในโรงเรียนsovn เเห่งหนึ่งมีอยู่ 6 ชั้น เด็กนักเรียนมีเลขประจำตัวคือ 1,2,3,...,2007 ผู้อำนวยการผู้มีความเป็นเลิศทางคณิตศาสตร์เลยคาดเดาว่า มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่มีเลขประจำตัว เป็นผลบวกของนักเรียน 2 คนในระดับชั้นเดียวกัน หรือไม่ก็เป็น 2 เท่าของอีกของคนนึงในระดับชั้นเดียวกัน ถ้าคุณเป็นคนที่มีความเป็นเลิศเช่นเดียวกันช่วยบอกได้ไหมผู้อำนวยการพูดถูกหรือไม่คุณจงเเสดงให้เห็นด้วย

คนที่เฉลยข้อนี้ นี่ชั้นเทพเลยครับ

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kartoon

เฉลยข้อ 1 ตามนี้เลยครับ

ต้องขอบคุณ คุณ kartoon มากครับ ที่ช่วยหาเฉลยมาให้ พอได้อ่านก็เข้าใจแล้วว่าแนวคิดของ Schur เป็นยังไง ให้สังเกตว่าถ้าคิดย้อนกลับ เราจะได้ลำดับ $a_n=na_{n-1}+1$ เมื่อ $a_1=2$ ซึ่งที่เหลือก็คงเป็นแค่การใช้ analysis พิสูจน์ว่า $a_n=\lfloor n!e\rfloor$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kartoon

คนที่เฉลยข้อนี้ นี่ชั้นเทพเลยครับ

ก็ไม่เชิงครับ เพราะดูเหมือนว่าข้อสอบข้อนี้ จะลอกเอาแนวคิดในการพิสูจน์ของ Schur มาทั้งดุ้น ซึ่งผมคิดว่าระดับข้อสอบ IMO คงไม่ได้เห็นอะไรแบบนี้บ่อยนักมั้งครับ