ถามแนวคิดหน่อยคร้าบ

[tatari/nightmare]

จากโจทย์ IMO ปีหนึ่งที่ว่า
$$จงหาa,b,c\in \mathbb{N} ทั้งหมดที่ 1\prec a\prec b\prec c และ \frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} เป็นจำนวนเต็ม $$ ผมพิสูจน์ได้แค่ว่า a,b,c ต้องมีความคู่-คี่เหมือนกันแล้วก็ไปต่อไม่ได้ ไม่รู้ว่ามาถูกทางหรือเปล่า ช่วยแนวคิดหน่อยครับ

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

$$1\prec a\prec b\prec c$$

น่าจะเปลี่ยนสัญลักษณ์เป็น $<$ นะครับเพราะสัญลักษณ์นี้ไม่ได้ใช้กับพวกจำนวน

[dektep]

Imo 1992 #1
Let us define
F(p,q,r)=$\frac{pqr-1}{(p-1)(q-1)(r-1)}$=1+$\frac{1}{p-1}$+$\frac{1}{q-1}$+$\frac{1}{r-1}$+$\frac{1}{(p-1)(q-1)}$+$\frac{1}{(q-1)(r-1)}$+$\frac{1}{(r-1)(p-1)}$
Obviously F is a decreasing function of p, q, r. Suppose that 1 < p < q < r
are integers for which F(p, q, r) is an integer. Observe that p, q, r are either
all even or all odd. Indeed, if for example p is odd and q is even, then pqr−1
is odd while (p−1)(q−1)(r−1) is even, which is impossible. Also, if p, q, r
are even then F(p, q, r) is odd.
If p ≥ 4, then 1 < F(p, q, r) ≤ F(4, 6, 8) = 191/105 < 2, which is impossible.
Hence p ≤ 3.
Let p = 2. Then q, r are even and 1 < F(2, q, r) ≤ F(2, 4, 6) = 47/15 < 4.
Therefore F(2, q, r) = 3. This equality reduces to (q − 3)(r − 3) = 5, with
the unique solution q = 4, r = 8.
Let p = 3. Then q, r are odd and 1 < F(3, q, r) ≤ F(3, 5, 7) = 104/48 < 3.
Therefore F(3, q, r) = 2. This equality reduces to (q − 4)(r − 4) = 11,
which leads to q = 5, r = 15.
Hence the only solutions (p, q, r) of the problem are (2, 4, 8) and (3, 5, 15).