Diophantine Equation

[dektep]

1.ถ้า $x,y \in \mathbb{N}$ จงหาคำตอบของสมการ
$x^3-y^3=xy+61$

[หยินหยาง]

x=-5, y=-6 ครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

x=-5, y=-6 ครับ

ขอโทษครับ $x,y \in \mathbb{N}$ ครับ

[หยินหยาง]

งั้นเมื่อ x และ y เป้นจำนวนนับ จะได้ว่า x=6, y=5 ครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

งั้นเมื่อ x และ y เป้นจำนวนนับ จะได้ว่า x=6, y=5 ครับ

ถูกต้องครับ คำตอบคือ (6,5) คำตอบเดียวครับ
แต่ว่าแล้ววิธีทำ ???

[หยินหยาง]

ผมไม่แน่ใจในวิธีทำนะครับ ถ้าใครรู้ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ เพราะบางช่วงก็ใช้การสังเกตแล้วแทนค่าดูครับ
จากโจทย์ $x,y \in \mathbb{N} $
เราจะได้ $x^3 \equiv x \pmod{3} $ และ $y^3 \equiv y \pmod{3}$
$x^3-y^3 \equiv x-y \pmod{3}$
$x^3-y^3-xy \equiv x-y-xy \pmod{3}$
$61 \equiv x-y-xy \equiv 1 \pmod{3}$

กรณีที่ 1 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k $
จะได้ $1 \equiv -y \pmod{3}$
ั$y \equiv 2 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q+2$

กรณีที่ 2 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+1$
จะได้ $y+1\equiv 1-y \pmod{3}$
$y\equiv 0 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q$

กรณที่ 3 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+2$
จะได้ $2y+1\equiv 2-y \pmod{3}$
$3y\equiv 1 \pmod{3}$
ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น ถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q+2$ หรือถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k+1$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q$
ต่อจากนั้นผมเลยลองแทนค่าดูก็จะได้ว่า $(x,y) = (6,5) = (-5,-6)$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมไม่แน่ใจในวิธีทำนะครับ ถ้าใครรู้ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ เพราะบางช่วงก็ใช้การสังเกตแล้วแทนค่าดูครับ
จากโจทย์ $x,y \in \mathbb{N} $
เราจะได้ $x^3 \equiv x \pmod{3} $ และ $y^3 \equiv y \pmod{3}$
$x^3-y^3 \equiv x-y \pmod{3}$
$x^3-y^3-xy \equiv x-y-xy \pmod{3}$
$61 \equiv x-y-xy \equiv 1 \pmod{3}$

กรณีที่ 1 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k $
จะได้ $1 \equiv -y \pmod{3}$
ั$y \equiv 2 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q+2$

กรณีที่ 2 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+1$
จะได้ $y+1\equiv 1-y \pmod{3}$
$y\equiv 0 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q$

กรณที่ 3 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+2$
จะได้ $2y+1\equiv 2-y \pmod{3}$
$3y\equiv 1 \pmod{3}$
ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น ถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q+2$ หรือถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k+1$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q$
ต่อจากนั้นผมเลยลองแทนค่าดูก็จะได้ว่า $(x,y) = (6,5) = (-5,-6)$

แล้วตอนจบรู้ได้อย่างไรว่ามีคำตอบเดียวครับ

[หยินหยาง]

นั่นแหละครับคือสิ่งที่ผมสงสัยอยู่ และอยากจะทราบอยู่รบกวนคุณ dektep ช่วยเฉลยด้วยครับ ขอบวิธีตั้งแต่ต้นเลยนะครับ

[dektep]

My solution

คูณด้วย $27$ ทั้งสองข้างของสมการจะได้ว่า $27x^3-27y^3-27xy=1647$
$\therefore (3x)^3+(-3y)^3+(-1)^3-3(3x)(-3y)(-1) = 1646$
$\therefore (3x-3y-1)(9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y) =2\bullet 823$
แต่ $9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y \geq 3x-3y-1, 3x-3y-1 \equiv 2 (mod 3)$
และ $823$ เป็นจำนวนเฉพาะ
$\therefore 9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y = 823$
และ $3x-3y-1 =2$
จะได้ว่า $x=6,y=5$
ดังนั้น $(6,5)$ จึงเป็นคำตอบเดียวของสมการ

[dektep]

2.ถ้า $x,y,z \in \mathbb{N}$ จงหาคำตอบของสมการ
$$(x+y)^2+3x+y+1=z^2$$

[หยินหยาง]

คำตอบข้อนี้น่าจะมีหลายคำตอบ คือ
$x=y, z=2x+1$, $ \forall x\in \mathbb{N} $

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

คำตอบข้อนี้น่าจะมีหลายคำตอบ คือ
$x=y, z=2x+1$, $ \forall x\in \mathbb{N} $

คำตอบถูกต้องแล้วครับ
แล้ววิธีทำละครับ

[หยินหยาง]

ผมก็ใช้การสังเกต โดยให้ $x=y$ จะเห็นว่าฝั่งซ้ายสามารถจัดอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณืได้ แล้วก็แก้สมการ ก็จะได้คำตอบตามต้องการครับ แล้วคุณ dektep มีแนวคิดแบบอื่นหรือเปล่าครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมก็ใช้การสังเกต โดยให้ $x=y$ จะเห็นว่าฝั่งซ้ายสามารถจัดอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณืได้ แล้วก็แก้สมการ ก็จะได้คำตอบตามต้องการครับ แล้วคุณ dektep มีแนวคิดแบบอื่นหรือเปล่าครับ

แนวคิดก็คือจะพยายาม bound ค่า $(x+y)^2+3x+y+1$ ด้วยอสมการ
$(x+y)^2 < (x+y)^2+3x+y+1 < (x+y+2)^2$
$\therefore (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$
$\therefore x=y$
แทนค่าต่อไปก็จะได้คำตอบครับ

[kongp]

แหม ตอบกันได้อย่างดุเดือดจังเลย แต่กระทู้ผมกลับเงียบสนิท เเฮะ ช่วยไปตอบหน่อยครับคำถามเกี่ยวกับ EIGEN