โจทย์ Number theoric function สอบวันนี้คับ

[Chronon]

ทำไปไม่รู้เลยว่าถูกหรือเปล่า ยังไงก็ขอรบกวนด้วยนะครับ

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จงพิสูจน์ว่า

$$\sum_{d\left.\,\right| n} (-1)^\frac{n}{d}d = 2\sigma \left(\,\frac{n}{2}\right) -\sigma(n)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ จงพิสูจน์ว่า

$$\sum_{d\left.\,\right| n} (-1)^\frac{n}{d}d = 2\sigma \left(\,\frac{n}{2}\right) -\sigma(n)$$

สมมติ $n=2^tm, m$ เป็นคี่ จะได้

$\sigma{(n)}=(2^{t+1}-1)\sigma{(m)}$

$\sigma{(n/2)}=(2^{t}-1)\sigma{(m)}$

ดังนั้น $2\sigma{(n/2)}-\sigma{(n)}=-\sigma{(m)}$

ในขณะเดียวกัน

$\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{d|n}(-1)^d\dfrac{n}{d}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^d}{d}+\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^{2d}}{2d}+\cdots+\sum_{d|m}\dfrac{(-1)^{2^td}}{2^td}\Big]}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[-\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}+\sum_{d|m}\dfrac{1}{2d}+\cdots+\sum_{d|m}\dfrac{1}{2^td}\Big]}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=n\Big[-1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^t}\Big]\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\dfrac{n}{2^t}\sum_{d|m}\dfrac{1}{d}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sum_{d|m}\dfrac{m}{d}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sum_{d|m}d}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=-\sigma{(m)}$

[Chronon]

วิธีคล้ายๆ กันเลยครับ แต่ของผมไม่ได้กลับตามสมการแบบนี้น่ะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ในขณะเดียวกัน

$\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{d|n}(-1)^d\dfrac{n}{d}}$

เอ้อ ตรงนี้มายังไงหรอครับ

[nooonuii]

มันเป็น trick ที่ใช้ในการเปลี่ยน index น่ะครับ

ถ้า $d$ เป็นตัวหารของ $n$ จะได้ว่า $\dfrac{n}{d}$ ก็เป็นตัวหารของ $n$ ด้วย

ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยน index ให้เป็น $e=\dfrac{n}{d}$ จะได้ $d=\dfrac{n}{e}$


$\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{\frac{n}{e}|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{e|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$

บรรทัดสุดท้ายมันเท่ากับของเดิมเพราะว่าเราหาผลบวกสำหรับตัวหารทั้งหมดของ $n$ ครับ ไม่ว่าจะใช้ $e$ หรือ $\dfrac{n}{e}$ ยังไงผลบวกมันก็หาสำหรับทุกตัวหารของ $n$