ไม่เข้าใจตรีโกณครับ ช่วยหน่อยนะครับ

[gon]

เดี๋ยวขอเคลียร์งานแถวนี้ให้เสร็จก่อน แล้วจะมาช่วยคิดต่อนะครับ

[Art_ninja]

ตอนนี้มีโจทย์มาถามอีกข้อครับ ขอให้สนุกนะครับ
Find the sum of all x in the interval $(0,2\pi]$ such that
$$3\cot^2 x + 8\cot x +3=0$$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ตอนนี้มีโจทย์มาถามอีกข้อครับ ขอให้สนุกนะครับ
Find the sum of all x in the interval $(0,2\pi]$ such that
$$3\cot^2 x + 8\cot x +3=0$$

ข้อนี้ค่อนข้างมั่วชอบกล แต่น่าจะถูกนะครับ.

จะได้ว่า $\tan x = \frac{3}{-4- \sqrt{7}} , \frac{3}{-4 + \sqrt{7}}$
สมมติให้เป็น $\tan x = \frac{3}{-4-\sqrt{7}} , \tan y = \frac{3}{-4 + \sqrt{7}}$
สมมติให้ x + y = z ดังนั้น $\tan z = \tan (x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$
$\tan z = \frac{-8/3}{0} = -\infty$ ดังนั้น $z = \arctan (-\infty) = -\frac{\pi}{2}$

สมมติให้ x อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 และ y อยู่ในควอดรันต์ที่ 4
นั่นคือ $\frac{\pi}{2} < x < \pi , \frac{3\pi}{2} < y < 2\pi \Rightarrow 2\pi < x + y < 3\pi$

ดังนั้นเราเอา $z = \arctan (-\infty) = -\frac{\pi}{2}$ บวกเข้าไปอีก 3 คาบของฟังก์ชัน tangent คือบวกด้วย $3\pi$ ก็จะได้ $\frac{5\pi}{2}$ เป็นคำตอบครับ.

[Art_ninja]

ตอนนี้หายหน้าไปนาน เพราะว่าตอนนี้เป็นหวัดครับ แล้วก็เบลอมากเลยครับ
ไม่เว้นแม้กระทั่งตอนนี้ ก็ยังท้องเสียอีก
Solution
จากสมการ $3\cot^2 x+8\cot x+3=0$ จะได้ว่า
$\cot x=\frac{-4-\sqrt{7}}{3},\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$
กำหนดให้ $\cot \alpha=\frac{-4-\sqrt{7}}{3},\cot \beta=\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$
เพราะว่า ฟังก์ชัน cot เป็น bijection จาก $(0,\pi)$ ไปยัง $\mathbb{R} $ จึงได้ว่า $\pi<\alpha +\beta<2\pi$และจาก $1=\cot x \tan x$
จะได้ว่า $1=\cot x \tan x =\cot x \cot (\frac{\pi}{2}-x )= \cot x \cot (\frac{3\pi}{2}-x)$
$\therefore \alpha+\beta=\frac{3\pi}{2}$ และค่าที่เหลืออีกสองค่าคือ $\alpha+\pi$ และ $\beta+\pi$
$\therefore$ ค่าของ $x$ ทั้งหมด คือ $\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi}{2}+2\pi=5\pi$

[gon]

ตอนนี้ก็ไข้ขึ้นเหมือนกันครับ ปวดหัวหนึบ ๆ ตายแน่ๆวันนี้ หมดพลังแล้ว นอนก่อนล่ะครับ.

[Art_ninja]

ผมมั่นใจครับว่าข้อนี้ตอบว่า $5\pi$ แน่นอนครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ผมมั่นใจครับว่าข้อนี้ตอบว่า $5\pi$ แน่นอนครับ

ครับ $5\pi$ ก็ $5\pi$

ตรงนี้พี่ก็ยังดูไม่เข้าใจครับว่ามันเกี่ยวกันยังไง ทำไมจึงสรุปได้ว่ารวมกันได้ $3\pi/2$

จะได้ว่า $1=\cot x \tan x =\cot x \cot (\frac{\pi}{2}-x )= \cot x \cot (\frac{3\pi}{2}-x)$
$\therefore \alpha+\beta=\frac{3\pi}{2}$

ถ้้าเป็นพี่ก็คงให้เหตุผลแนวเดิมคือ เพราะ $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1- \tan x \tan y} = \frac{-8/3}{0} = -\infty $ แต่ $\pi < x + y < 2\pi$ ดังนั้น $x + y = \frac{3\pi}{2}$

[Art_ninja]

For any real number x and any positive integer n prove that
$\left| \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin kx}{k} \right|\leq 2\sqrt{\pi} $

[Mastermander]

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}=\arctan(\cot\frac{x}{2})}$