|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
27 กันยายน 2010, 20:15
|
||||
|
||||
สอบวันนี้ครับ กับ Legendre Symbol
ปวดหัวกับข้อนี้มากครับ ไม่แน่ใจว่าผมคิดอะไรผิดหรือเปล่า
กำหนดให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ จงหาค่าของ $$\sum_{1\leqslant a < b < p} \left[\left(\frac{a}{p} \right)+ \left(\frac{b}{p} \right) \right]^2 $$ โดยที่ $$\left(\frac{n}{p} \right) = \left\{\matrix{1 & ,& \exists x\in \mathbb{N} \left[n\equiv x^2 \pmod{p}\right] \\ -1 & ,& otherwise}\right.$$ ผมคิดได้ $(p-1)^2$ ครับ แต่คิดว่าคงผิดละนะ 
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ 
|
|
#2
27 กันยายน 2010, 20:33
|
||||
|
||||
|
เราต้องจับคู่ $\left(\frac{1}{p} \right),\left(\frac{2}{p} \right),\ldots,\left(\frac{p-1}{p} \right)$ มาบวกกันแล้วยกกำลังสอง ให้ครบทุกคู่ แล้วนำมารวมกันอีกที
แต่เรารู้ว่าใน $\left(\frac{1}{p} \right),\left(\frac{2}{p} \right),\ldots,\left(\frac{p-1}{p} \right)$ เป็น 1 ครึ่งนึง -1 ครึ่งนึง ทีนี้เราก็นับเอาครับว่าจะเกิด $(1+1)^2$ กี่วงเล็บ $(1-1)^2$ กี่วงเล็บ $(-1-1)^2$ กี่วงเล็บ ผมได้คำตอบเป็น $(p-1)(p-3)$ ครับ ผมลองเช็ค $p=3$ แล้วตรงครับ
|
|
#3
27 กันยายน 2010, 20:50
|
||||
|
||||
|
อ่อ... ขอบคุณมากครับ ผมนึกออกแล้วว่าผิดตรงไหน
ผมกระจายกำลังสองออกมา แล้วดึงตัวที่เท่ากับ 1 ออกจากซิกม่า แต่ดันนับผิด มันต้องมีทั้งหมด (p-1)(p-2)/2 ตัว ผมดันไปนับเป็น p(p-1)/2 ตัว ส่วนก้อนที่เหลือจัดรูปคล้ายๆ กับที่คุณ Onasdi Hint ให้ ได้ -(p-1) จับบวกกันก็จะได้ (p-1)(p-3) ครับ
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ
|
| |
|
|
