เรขาง่ายๆ(มั้ง)

[sharkyboy]

ถ้าเราพับมุมหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านกว้างยาว 4 นิ้ว เป็นรูปสามเหลี่ยม ABC จะมีพื้นที่น้อยที่สุด เมื่อ A อยู่ห่างจากมุมที่พับกี่นิ้ว

ช่วยแนะวิธีทำด้วยนะครับ
ผมคิดไม่ออก

[banker]

รอเทพมาช่วย เทพก็ไม่เมตตา

ดังนั้น เรามามั่วกันเองดีกว่า

หลังจากไปลุยมาพักใหญ่ ก็ได้พบความจริงว่า

1. $ABC$ มีมุม $B$ เป็นมุมฉากเสมอ

2. $B$ ต้องอยู่บนด้าน $DG$ เสมอ

3. $AB = 4 -y$

4. $BC = x + z $

5. $HC = 4$ เสมอ

6. พื้นที่สามเหลี่ยม ABC แปรผันตรงกับความยาวด้าน AB และ BC

7. ทุกๆค่า ไม่ว่า AB, BC, x, z จะเปลี่ยนไปตามค่า y

8. ถ้า $y = 2 $ จะไม่สามารถสร้า่งสามเหลี่ยม $ABC$ ได้



เราจะค่อยๆไล่ค่า y ( ความยาว DA)

กรณี y = 0 ---> A ทับ D และ B ทับ H

จะได้พื้นที่สามเหลี่ยม ABC เท่ากับ $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ตารางนิ้ว

กรณี y = 0.5 ---> AB = 4 - 0.5 = 3.5

สามเหลี่ยม $ DAB ---> \ \ \ x^2 = (3.5)^2 - (0.5)^2 = 12 \ \ \ \ ---> x = 2\sqrt{3} $

สามเหลี่ยม $ BHC ----> \ \ \ (x + z)^2 = z^2 + 4 ^2 ----> z = \frac{\sqrt{3} }{3}$

พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC = \frac{1}{2} \times 3.5 \times (2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} }{3} ) = \frac{49 \sqrt{3} }{12} = 7.07$ (ลดลง)





กรณี y = 1 ---> AB = 4 - 1 = 3

สามเหลี่ยม $ DAB ---> \ \ \ x^2 = (3)^2 - (1)^2 = 8 \ \ \ \ ---> x = 2\sqrt{2} $

สามเหลี่ยม $ BHC ----> \ \ \ (x + z)^2 = z^2 + 4 ^2 ----> z = \sqrt{2} $

พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times (2\sqrt{2} + \sqrt{2} ) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{2} = 6.36$ (ลดลงอีก)


ทำแบบนี้ โดยแทนค่า y ไปเรื่อยๆ จะพบว่า

$ y = 0 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $8$ ตารางหน่วย
$ y = 0.5 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $7.07$ ตารางหน่วย
$ y = 1 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.36$ ตารางหน่วย
$ y = 1.25 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.174$ ตารางหน่วย
$ y = 1.3 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.1611$ ตารางหน่วย
$ y = 1.4 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.1712$ ตารางหน่วย
$ y = 1.5 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.25$ ตารางหน่วย
$ y = 1.6 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.4398$ ตารางหน่วย
$ y = 1.75 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $7.159$ ตารางหน่วย
$ y = 1.9 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $9.9$ ตารางหน่วย



จากการสังเกต จะเห็นว่า

1. พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ จะค่อยๆลดลง เมื่อค่า $y$ เพิ่มขึ้น
จนถึงจุดหนึ่งที่ค่า $y \ \ \ (AD)$ อยู่แถวๆ 1.3 ทำให้พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ น้อยที่สุด แล้วค่อยๆเพิ่มขึ้น (ยังกะกราฟพาราโบล่า)

2. ถ้าเราสามารถหาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสมการในรูป ความยาวด้าน $AB, \ \ BC$ ที่สัมพันธ์กับความยาวด้าน $DA$ ได้ เราก็น่าจะหาจุดต่ำสุดของพื้นที่สามเหลี่ยม$ABC$ ในรูปกราฟพาราโบล่าได้ ?


ถึงตรงนี้แล้ว รอท่านอื่นมาช่วยชี้แนะต่อครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ดังนั้น เรามามั่วกันเองดีกว่า

Attachment 2143

ทำแบบนี้ โดยแทนค่า y ไปเรื่อยๆ จะพบว่า

$ y = 1.25 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.174$ ตารางหน่วย
$ y = 1.3 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.1611$ ตารางหน่วย
$ y = 1.4 $ สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่ $6.1712$ ตารางหน่วย

จากการสังเกต จะเห็นว่า

1. พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ จะค่อยๆลดลง เมื่อค่า $y$ เพิ่มขึ้น
จนถึงจุดหนึ่งที่ค่า $y \ \ \ (AD)$ อยู่แถวๆ 1.3 ทำให้พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ น้อยที่สุด แล้วค่อยๆเพิ่มขึ้น (ยังกะกราฟพาราโบล่า)

2. ถ้าเราสามารถหาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสมการในรูป ความยาวด้าน $AB, \ \ BC$ ที่สัมพันธ์กับความยาวด้าน $DA$ ได้ เราก็น่าจะหาจุดต่ำสุดของพื้นที่สามเหลี่ยม$ABC$ ในรูปกราฟพาราโบล่าได้ ?

สุดยอดเลยครับ เพราะผมหาค่า y ได้เป็น $\frac{4}{3}$ โดยใช้แคลคูลัสครับ (ยังหาวิธีง่ายๆไม่เจอเลย)

[Puriwatt]

วิธีทำตามรูปครับ

เพื่อให้ง่ายผมจึงจัดรูปใหม่จาก $A = \dfrac {x^2}{\sqrt{2x-4}}$ เป็น

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac {x^2}{\sqrt{x-2}}$

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac {(x^2-4x+4)+(4x-8)+(4)}{\sqrt{x-2}}$

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot [(x-2)^{\frac{3}{2}}+4(x-2)^{\frac{1}{2}} +4(x-2)^{-\frac{1}{2}} ]$

$\dfrac {dA}{dx} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot [\frac{3}{2}(x-2)^{\frac{1}{2}}+2(x-2)^{-\frac{1}{2}} -2(x-2)^{-\frac{3}{2}} ] = 0$ โดยที่ $x \not= 2$

จัดรูปใหม่ได้เป็น $3x^2-8x = 0$ จะได้ค่า x ที่สอดคล้องคือ 0 และ $\frac{8}{3}$ (แต่ x ไม่เป็น 0)

** ของคุณ banker ใช้ตัวแปร y = 4-x จึงมีค่าต่ำสุดอยู่ที่ y = $4-\frac{8}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ครับ **

ดังนั้น ค่าพื้นที่ต่ำสุดคือ $A_{min} = \frac {(\frac{8}{3})^2}{\sqrt{2(\frac{8}{3})-4}} = \frac {32\sqrt{3} }{9} $ ตารางนิ้ว ครับ

[[SIL]]

เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลายครับ จำไม่ได้ว่าปีไหน

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลายครับ จำไม่ได้ว่าปีไหน

ผมก็สงสัยอยู่เหมือนกันว่า หาแนวคิดแบบม.ต้น มาแก้ไม่ได้เลยต้องจบลงที่เคลคูลัส

[sharkyboy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลายครับ จำไม่ได้ว่าปีไหน

vว
แล้วอาจาร์เอาของ ม.ปลายมาให้ผมทำทำไมเนี่ย
ผมอยู่ม.ต้นเอง

[S@ndV_Vich]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

วิธีทำตามรูปครับ
Attachment 2187
เพื่อให้ง่ายผมจึงจัดรูปใหม่จาก $A = \dfrac {x^2}{\sqrt{2x-4}}$ เป็น

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac {x^2}{\sqrt{x-2}}$

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac {(x^2-4x+4)+(4x-8)+(4)}{\sqrt{x-2}}$

$A = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot [(x-2)^{\frac{3}{2}}+4(x-2)^{\frac{1}{2}} +4(x-2)^{-\frac{1}{2}} ]$

$$\dfrac {dA}{dx} = \dfrac {1}{\sqrt{2}} \cdot [\frac{3}{2}(x-2)^{\frac{1}{2}}+2(x-2)^{-\frac{1}{2}} -2(x-2)^{-\frac{3}{2}} ] = 0$ โดยที่ $x \not= 2$

จัดรูปใหม่ได้เป็น $3x^2-8x = 0$ จะได้ค่า x ที่สอดคล้องคือ 0 และ $\frac{8}{3}$ (แต่ x ไม่เป็น 0)

** ของคุณ banker ใช้ตัวแปร y = 4-x จึงมีค่าต่ำสุดอยู่ที่ y = $4-\frac{8}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ครับ **

ดังนั้น ค่าพื้นที่ต่ำสุดคือ $A_{min} = \frac {(\frac{8}{3})^2}{\sqrt{2(\frac{8}{3})-4}} = \frac {32\sqrt{3} }{9} $ ตารางนิ้ว ครับ

เออผมยังอยู่ม.ตนอ่ะครับ
พอดีอยากรู้ว่า ดิฟ มีไว้เพื่ออะไรหรอครับ?
คือผมรู้แค่ว่าดิฟยังใงแต่ไม่รู้ว่าจะใช้ยังใงอ่าครับ?
อย่างข้อนี้ก็ใช้ดิฟแต่ผมยังงงอยู่ว่าจะใช้เพื่ออะไรหรอ?ครับ
แล้วก็ J-convex concave ครับที่เค้าใช้ ดิฟๆ อ่ะครับ

[[SIL]]

ถามหาระยะ AB ครับไม่ใช่พื้นที่ อึดฟรี(เหมือนกัน)เลย (ตอบ 8/3)
ปล. สมาคมปี 46 ข้อ 34 ครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ S@ndV_Vich

เออผมยังอยู่ม.ตนอ่ะครับ
พอดีอยากรู้ว่า ดิฟ มีไว้เพื่ออะไรหรอครับ?
คือผมรู้แค่ว่าดิฟยังใงแต่ไม่รู้ว่าจะใช้ยังใงอ่าครับ?
อย่างข้อนี้ก็ใช้ดิฟแต่ผมยังงงอยู่ว่าจะใช้เพื่ออะไรหรอ?ครับ
แล้วก็ J-convex concave ครับที่เค้าใช้ ดิฟๆ อ่ะครับ

การดิฟ หมายถึง "อัตราส่วนระหว่างการเปลี่ยนแปลงของ y ต่อการเปลี่ยนแปลงของ x, ในขณะที่ x เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย(เกือบเป็นศูนย์)"

ซึ่งผลของการดิฟ จะเขียนแทนด้วย $y'$ เช่น กรณี $y = f(x)$ --> การดิฟ สามารถแทนได้ด้วย $ y' = \frac {dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y \ }{\Delta x} $

และ $y' = g(x)$ ยังหมายถึง ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกราฟ $y = f(x)$ ที่จุด $(x,y)$ ใดๆด้วย

การที่เราจับ $y' = 0$ แล้วแก้สมการหาค่า $x$ นั้น หมายถึง การหาค่า $x$ ณ.จุดที่มีเส้นสัมผัสขนานกับแกน $x$ (ความชันเป็น 0) นั่นเอง

จุดที่มีเส้นสัมผัสขนานกับแกน $x$ เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า หรือ จุดวกกลับ (จุดสูงสุด หรือจุดต่ำสุด)

เอาแบบย่อๆ ก่อนนะครับ (ถ้ายังสงสัยก็ลอง คลิกดูที่ลิงค์นี้ ครับ)

[S@ndV_Vich]

ขอบคุณคุณ Puriwatt มากๆๆครับ