ถามหน่อยคับ integrate

[Brownian]

คือเรื่องมันมีอยู่ว่า
$$\int\frac{dx}{x^2+x+1}$$
ทำยังคับ? แยกเป็น partial fraction ก็ไม่ได้ แทนตรีโกณก็ไม่ออก by part ก็ไม่ออก ช่วยทีครับ
แล้วก็สมการเชิงอนุพันธ์อีกข้อคับ
$$\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=x^5$$

[nooonuii]

$x^2+x+1=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$

Let $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$

[Brownian]

ออ ขอบคุณมากครับ ตาส่ว่างเลยทีเดียวเชียว ข้อสองด้วยคับ

[หยินหยาง]

HINT ลองมองหรือจัดให้อยู่ในรูปของ $\int\frac{du}{u^2+1}$ ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Brownian

แล้วก็สมการเชิงอนุพันธ์อีกข้อคับ
$\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{2y}{x}=x^5$

Let $y=zx^2$.

[Brownian]

ขอบคุณคับคุณ noonuii สำหรับข้อสองผมจะลองทำดู พอดีผมมีปัญหาที่คิดไม่ตกอีกข้อ อารมณ์ประมาณว่า
จงหาผลเฉลยของ $\frac{dy}{dx}+25xy=9.8 ; y(0)=2$
แล้วก้วิธีคิดของผม
จากสูตร $p(x)=25x$ , $q(x)=9.8$
และจากอีกสูตร $$y=e^{-{\int p(x)dx}}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c)$$
ผมหาได้ว่า $\int p(x)dx=\frac{25x^2}{2}$
$$\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx=9.8\int e^{\frac{25x^2}{2}}dx$$

ทีนี้ผมก็ทำ by part โดย
ให้ $u=e^{\frac{25x^2}{2}}\Rightarrow du=25xe^{\frac{25x^2}{2}}dx$
และ $dv=dx\Rightarrow v=x$
$$\int udv=xe^{\frac{25x^2}{2}}-25\int x^2e^{\frac{25x^2}{2}}$$

ผมทำ by part อีกทีก้ไม่ออก ผมไปต่อบ่เปนเลยครับ ทำยังไงต่อดี

[nooonuii]

ลองเช็คดูครับว่าโจทย์มีอะไรตกหล่นรึเปล่า

เพราะปกติแล้ว $\int e^{cx^2}\,dx$ ไม่มี closed form ครับ

เว้นเสียแต่ว่าอยากได้คำตอบเป็นอนุกรม

[Brownian]

โจทย์ไม่ผิดครับ ทำไงดีมันเป็นข้อสอบมิดเทอม

[nooonuii]

จงหาผลเฉลยของ $\frac{dy}{dx}+25xy=9.8 ; y(0)=2$

$y=e^{-{\int p(x)dx}}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c)$

$=e^{-25x^2/2}(\int_0^x9.8e^{25t^2/2}dt+c)$

$y(0) = 2\Rightarrow c=2$

$y=9.8e^{-25x^2/2}\int_0^xe^{25t^2/2}dt+2e^{-25x^2/2}$

We must keep the integral term if we don't know the closed form krub.

[Brownian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$y=e^{-{\int p(x)dx}}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c)$

$=e^{-25x^2/2}(\int_0^x9.8e^{25t^2/2}dt+c)$

$y(0) = 2\Rightarrow c=2$

$y=9.8e^{-25x^2/2}\int_0^xe^{25t^2/2}dt+2e^{-25x^2/2}$

We must keep the integral term if we don't know the closed form krub.

จริงๆรอคับ อาจารย์จะไม่ว่าติคับ ผมจะได้คะแนนมั้ยอ่ะถ้าตอบแบบนี้
อืม แต่ผมเห็นวิธีทำของข้อที่คล้ายๆกันคับ
มันมีพจน์ $\int x^3e^{\frac{x^2}{2}}dx$
ซึ่งมันบอกว่าทำ by part แล้วได้เป็น (แต่มันไม่ทำให้ดู เอาคำตอบมาเลย)
$$\int x^3e^{\frac{x^2}{2}}dx=x^2e^{(\frac{x^2}{2})}-2e^{(\frac{x^2}{2})}$$

ซึ่งมันดูคล้ายๆกับ $\int x^2e^({\frac{5x^2}{2}})dx$ ซึ่งผมติดอยู่
เลยงงว่าทำไมมันทำเหมือนกันไม่ได้อ่ะคับ

ยังไงก้ขอขอบคุณทุกค.ห.คับ