มีคำถามครับผม

มีคำถามมาให้คิดกันครับ
โจทย์มีอยู่ว่า

ให้มีวงกลม รัศมี R ใดๆ อยู่วงหนึ่ง จุดศูนย์กลางก็ (0,0)
จากนั้น มีจุดระเบิดบนระนาบ x,y อยู่ 2 จุด พิกัด ซึ่งมีพิกัดเป็น (x₁,y₁) , (x₂,y₂) ถามว่า ถ้าจะหาจุด M ที่อยู่บนเส้นรอบวง ซึ่งจุด M ห่างจากระเบิดที่กำหนดที่ใกล้ที่สุดเป็นระยะมากที่สุด (ระยะวัดจากจุด M ถึงลูกระเบิดที่ใกล้ที่สุด )
ถามว่า 1.จะมีวิธีหาจุดนี้อย่างไร???
2. ระยะจากจุดนี้ถึงระเบิดที่ใกล้ที่สุด มีค่าเท่าไหร่
ตัวแปรถ้าใครสะดวกใช้ยังไงก็กำหนดใหม่เองได้เลยนะ

และถ้าเรามีจุดอยู่ หลายจุด จุดบนระนาบ อาจจะเป็น 2 หรือ3 หรือ 4 ... ก็ได้ (นับได้)
ซึ่งมีพิกัดเป็น (x₁,y₁) , (x₂,y₂) , (x₃,y₃) ,...
ตามลำดับ
ถามต่อว่า จะหาจุด M ได้อย่างไร และระยะจากจากจุด M ถึงระเบิดที่ใกล้ที่สุดมีค่าเท่าไร

[warut]

โจทย์น่าสนใจมากครับ แต่ยากจัง สงสัยจะเป็นปัญหาคลาสิกเลยมั้งเนี่ย มาลองดูคำตอบของผมสำหรับกรณี 2 จุดกันดีกว่าว่าจะใช้ได้รึเปล่า

ให้ P₁ แทนจุด (x₁, y₁) และ P₂ แทนจุด (x₂, y₂) และ O คือจุด (0, 0)
โดยไม่เสียนัย ให้ |OP₁| ฃ |OP₂| นั่นคือให้ P₁ เป็นระเบิดที่อยู่ใกล้วงกลมที่สุด
จะเห็นว่าจุดบนวงกลมที่อยู่ห่างจาก P₁ มากที่สุดก็คือจุดที่อยู่ตรงข้ามกับ P₁ ขอเรียกจุดนี้ว่า Q₁
ถ้า |P₂Q₁| ณ |P₁Q₁| เราก็จะได้ว่า Q₁ คือจุด M ที่ต้องการ
ถ้า |P₂Q₁| < |P₁Q₁| เราจะพิจารณาต่อดังนี้
ให้ Q₂ เป็นจุดบนวงกลมที่อยู่ห่างจาก P₂ มากที่สุด (นั่นคือ Q₂ อยู่ตรงข้ามกับ P₂)
จะเห็นว่า M คือจุดที่อยู่บน arc Q₁Q₂ และมี |MP₁| = |MP₂| นั่นเอง
ดูรูปประกอบด้านล่างแล้วน่าจะช่วยให้เข้าใจแนวคิดของผมได้ง่ายขึ้นนะครับ

ส่วนการหาจุด M(x, y) ทำได้โดยการแก้ระบบสมการ

x² + y² = R²
(x - x₁)² + (y - y₁)² = (x - x₂)² + (y - y₂)²

อย่างในรูปข้างล่างนี้ซึ่งผมสร้างตามมาตราส่วนจริง มี R = 1
P₁ อยู่ที่ (2, 0) ดังนั้น Q₁ จึงอยู่ที่ (-1, 0)
ส่วนจุด P₂ (x₂, y₂) ผมให้ x₂ = 2.3 cos 80ฐ, y₂ = 2.3 sin 80ฐ
แก้ระบบสมการหาจุด M(x, y) จะได้
x = -0.9284894993...
y = -0.3713586535...
ดังนั้นระยะทางจาก M ถึงระเบิดที่ใกล้ที่สุดคือ 2.9519413946... ซึ่งเป็นค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับจุดที่อยู่บนวงกลมอันนี้ครับ

[So little.]

ผมคิดว่าผมคิดได้แล้วนะ รอสักครู่ เดี๋ยวผมว่างแล้วจะเอามาให้ดูนะครับ