|
|
#1
12 สิงหาคม 2007, 17:08
|
||||
|
||||
ถามโจทย์พิสูจน์
1) กำหนดให้ $x,y,u,v \in I^{+}$ $x+y=u+v$ และ $x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2}$ จงพิสูจน์ว่า $x^{n}+y^{n}=u^{n}+v^{n}$ เมื่อ $n \in I^{+}$
2) กำหนดให้ $a,b \in [0,1]$ และ $a+b+c=1$ จงหาค่าสูงสุด และต่ำสุดของ $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
__________________
..................สนุกดีเนอะ................... 
|
|
#2
12 สิงหาคม 2007, 21:34
|
|||
|
|||
|
Hint :
1. จากเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า $xy=uv$ จากนั้นพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์โดยสังเกตว่า $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})$ 2. $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $=2[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]$ $=2-6(ab+bc+ca)$ เห็นได้ชัดว่าค่าต่ำสุดคือ $0$ สมการเป็นจริงเมื่อใด ? ส่วนค่าสูงสุดลองดูว่าอสมการ $ab+bc+ca\geq 0$ จะทำให้สมการเป็นจริงโดยสอดคล้องเงื่อนไขโจทย์ได้หรือไม่
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
  |
|
|
