สมการ expo ครับ

[nc2002]

ข้อนี้ทำอย่างไรครับ
$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\left(x+1\right)}=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$$

[NaPrai]

คำตอบคือ $\boxed{-2020}$ ครับ

อันนี้จริง ๆ เห็นได้แหละครับว่า $x=-2020$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ แต่ปัญหาคือเรามั่นใจได้อย่างไรว่านี่เป็นคำตอบเดียว เพื่อความสะดวกผมจะให้ $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{(x+1)}$ และเราลองศึกษาลักษณะของฟังก์ชันนี้กันก็จะพบว่า

1) $f$ แสดงพฤติกรรมเป็นฟังก์ชันลดแท้ บนช่วง $(-\infty,-1)$ และ $(0,\infty)$
2) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=e$ และ $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=e$

จาก 1) และ 2) ทำให้ได้ว่า $f(x)>e$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$ และจาก $e>\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงบวก
จาก 1) ได้ว่า ถ้า $x<-2020$ แล้ว $f(x)>f(-2020)=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบของสมการเป็น $x$ น้อยกว่า $-2020$
ในทำนองเดียวกันถ้า $x \in (-2020,-1)$ แล้ว $f(x)<f(-2020)=\left(1+\frac{1}{2019}\right)^{2019}$ จึงได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่สมการนี้จะมีคำตอบของสมการเป็น $x$ ที่อยู่ในช่วง $(-2020,-1)$

ดังนั้นจึงได้ว่าสมการนี้มีคำตอบเพียงแค่ $-2020$ เท่านั้น


ปล. อันนี้ผมคิดเฉพาะในกรณีที่ตัวฐานของ exponential เป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้นนะครับ เพราะว่าไม่งั้นการนิยามคงวุ่นวายน่าดู