#1
|
|||
|
|||
ขอแนวคิดครับ
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง a2+b2+c2 = 1
จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \leq \frac{9}{2}\]
__________________
The Inequalitinophillic |
#2
|
|||
|
|||
WLOG: \( a\geq b,c\,\, \) และให้ \( b=Xa,c=Ya\,\, \) จะได้ว่า\( \,\,1+X^2+Y^2=1/a^2\,\, \) โดย \( 0<X,Y\leq1 \)
อสมการในเทอมของ \( X,Y \) คือ \[ 3+\frac{X}{1+X^2+Y^2-X}+\frac{Y}{1+X^2+Y^2-Y}+\frac{XY}{1+X^2+Y^2-XY}\leq\frac{9}{2}. \] โดยการหาอนุพันธ์ย่อยเทียบ \( X,Y \) จะเห็นว่าซ้ายมือเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ของ \( X,Y \) ดังนั้นจะมีค่ามากที่สุดก็ต่อเมื่อ \( X=Y=1 \) |
#3
|
|||
|
|||
มีวิธีไม่ใช้แคลคูลัสไหมครับ
__________________
The Inequalitinophillic |
#4
|
|||
|
|||
อสมการข้างบน
\[ \frac{X}{1+X^2+Y^2-X}+\frac{Y}{1+X^2+Y^2-Y}+\frac{XY}{1+X^2+Y^2-XY}\leq\frac{3}{2} \] พิสูจน์ตรงๆก็ได้ครับง่ายกว่าเยอะ 12 ธันวาคม 2005 01:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ x = ab , y = bc , z = ca ดังนั้น x+y+z ฃ 1 จะได้มี r ซึ่ง xr+yr+zr = 1 โดย r ณ 1 ให้ X = xr Y =yr Z=zr จะได้ X+Y+Z = 1 พิจารณา\[ \frac{1}{1-X} เป็นฟังก์ชัน concave ดังนั้น\frac{1}{1-X}+\frac{1}{1-Y}+\frac{1}{1-Z} \leq \frac{3}{1-\frac{X+Y+Z}{3}} = \frac{9}{2} แต่ \frac{1}{1-X}=\frac{1}{1-xr} \geq \frac{1}{1-x} ทำนองเดียวกันกับ y และ z จะได้ตามต้องการ\]
__________________
The Inequalitinophillic 24 กันยายน 2006 18:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Char Aznable |
|
|