Problems - Max,min,NT,Al

[Metamorphosis]

... สวัสดีครับ เพิ่งมาสมัครสมาชิกใหม่ ขอความช่วยเหลือหน่อยคับ ...

1. กำหนด $a,b,c \in \mathbb{N} $ จงหา $a,b,c$ ทั้งหมด โดย $1<a<b<c$ และ $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ เป็นจำนวนเต็ม

2. จงหาค่าของ $x + y$ ที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $(2x+1)^2+y^2+(y-2x)^2 = \dfrac{1}{3} $

3. เป็นโจทย์ที่ หา max , min ใน Tugmos ที่ยากอะครับ
3.1 ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$$\frac{x^2}{(2552x-2009y-543z)^2} + \frac{y^2}{(2552y-2009z-543x)^2} + \frac{z^2}{(2552z-2009x-543y)^2}$$
3.2 ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบซึ่งไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
จงหาค่าสูดสุดที่เป็นไปได้ของ$$\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3} - \frac{a^4+b^4+c^4}{(a+b+c)^4}$$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

2. จงหาค่าของ $x + y$ ที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $(2x+1)^2+y^2+(y-2x)^2 = \dfrac{1}{3} $

ข้อนี้ผมใช้ความรู้แบบเด็กๆ ละกันครับ ทำตาม hint ของคุณ Amankris ไม่ออก

$(2x+1)^2+y^2+(y-2x)^2 = \dfrac{1}{3} $

$24x^2+12x-12xy+6y^2+2=0$

$12x^2+6x-6xy+3y^2+1=0$

$\left(\,3x+1\right)^2 +3\left(\,x-y\right)^2 =0$

ได้ $x=y=\dfrac{-1}{3}$

[nooonuii]

ข้อสามมีคำตอบอยู่ในเวบแล้วครับ ลองใช้ตัวช่วยหาดู คนแต่งโจทย์ก็เคยเข้ามาเฉลยไว้

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

1. กำหนด $a,b,c \in \mathbb{N} $ จงหา $a,b,c$ ทั้งหมด โดย $1<a<b<c$ และ $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ เป็นจำนวนเต็ม

ช่วยดูหน่อยครับ หลังจากแยกมานาน

$$\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}= 1+\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{b-1}+\dfrac{1}{c-1}+\dfrac{1}{(a-1)(b-1)}+\dfrac{1}{(b-1)(c-1)}+\dfrac{1}{(c-1)(a-1)} $$

เห็นได้ชัดว่า $$1+\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{b-1}+\dfrac{1}{c-1}+\dfrac{1}{(a-1)(b-1)}+\dfrac{1}{(b-1)(c-1)}+\dfrac{1}{(c-1)(a-1)} $$ เป็นฟังก์ชันลด

พิจารณาก้อนซ้าย ความเป็น odd-even
ถ้า $a$ เป็น even , $ b,c $เป็น odd $abc-1$ เป็น odd แต่ $(a-1)(b-1)(c-1)$ เป็น even
ถ้า $a,b$ เป็น even , $ c$ เป็น odd $abc-1$ เป็น odd แต่ $(a-1)(b-1)(c-1)$ เป็น even
ในกรณีอื่น ๆ ก็เช่นเดียวกัน เราจะพบว่ากรณี a,b,c เป็น all odd และ all even ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเท่าันั้น

กำหนด $$f(a,b,c)=\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}= 1+\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{1}{b-1}+\dfrac{1}{c-1}+\dfrac{1}{(a-1)(b-1)}+\dfrac{1}{(b-1)(c-1)}+\dfrac{1}{(c-1)(a-1)} $$
พิจารณา $a =4$
$1 < f(a, b, c) \leqslant f(4, 6, 8) = \dfrac{191}{105}<2 $ !!
เพราะฉะนั้น $a=2,3$
กรณีที่ $a=2$
$$1 < f(a, b, c) \leqslant f(2, 4, 6) = \frac{47}{15} < 4$$
เราจึงได้ $f(2,b,c) = 3$ เท่านั้น เพราะ $f(2,b,c) = 2$ ใช้ไม่ได้ เพราะ LHS เป็นคี่ แต่ RHS เป็นจำนวนคู่
$(b -3)(c - 3) = 5 $ได้$ b =4 ,c =8$

กรณี $a=3$
$$1 < f(a, b, c) \leqslant f(3, 5,7) = \dfrac{104}{48} < 3$$
เราจึงได้ $f(3,b,c) = 2$
$(b - 4)(c - 4) = 11$ ได้$b=5,c=15$

$$(a,b,c) = (2,4,8),(3,5,15)$$

[Keehlzver]

โจทย์ข้อ 1 IMO 1992 ข้อ 1 ครับ ทำได้ 5 วิธีลอง Search ดูก็ได้ครับ (รวมวิธีที่โพสต์ในนี้อาจจะเป็นวิธีที่ 6)
ข้อ 3.1 เป็นโจทย์พี่สุธีแต่งขึ้นไว้นานมาแล้ว และพี่ Nooonuii ก็ได้พิสูจน์กรณีทั่วไปแล้วด้วยน่าจะเป็นในบอร์ดอสมการถ้าผมจำไม่ผิด ส่วน 3.2 น่าจะตอบ 1/8 เป็นโจทย์พี่สุธีเช่นกันหรือ คุณ tatari/Nightmare ก็ลองหาดูในบอร์ดอสมการเช่นกันครับ

[nooonuii]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=6263

3.1 อยู่ในนี้ครับ