ช่วยหน่อยครับ

[napong]

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
X={(a,b,c) | a,b,c$\in U$ และ $\sqrt[3]{a-b}$+$\sqrt[3]{b-c}$+$\sqrt[3]{c-a}$ =0}
จงหา |x|

[NaPrai]

ยังไม่เข้าใจโจทย์ตรงนี้อะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ napong

X={(a,b,c)$\in z$ | (a,b,c)$\in U$ และ $\sqrt[3]{a-b}$+$\sqrt[3]{b-c}$+$\sqrt[3]{c-a}$ =0}

[napong]

ผมพิมพ์โจทย์ผิดครับ แก้ไขแล้วครับ

[NaPrai]

คำตอบคือ $280$

ก่อนอื่นมาดูเงื่อนไขก่อนเลยครับ ผมจะสร้างเงื่อนไขใหม่ที่ง่ายกว่าและยังสมมูลกับเงื่อนไขเดิม โดยใช้การพิสูจน์ข้อความด้านล่างนี้

-----------------------------------------------------------------------------------
$\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ก็ต่อเมื่่อ $ในกลุ่มของ \ a,b,c \ มีสองตัวที่่มีค่าเท่ากัน \ กล่าวคือ \ a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a$

พิสูจน์ $\left(\Rightarrow \right)$ ถ้า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$

โดยเอกลักษณ์ทางพีชคณิตที่ว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ เมื่อแทน $x=\sqrt[3]{a-b}, y=\sqrt[3]{b-c}, z=\sqrt[3]{c-a}$ จะได้ว่า
\begin{align*}-3\sqrt[3]{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\end{align*}
ดังนั้น จะได้ว่า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ตามต้องการ

$\left(\Leftarrow \right)$ ถ้า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ไม่ว่าจะเป็นกรณีไหนก็ตามก็จะได้ว่า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ตามต้องการ

-----------------------------------------------------------------------------------

ดังนั้นเราจึงแปลงเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาได้เป็นดังนี้

$X=\left\{(a,b,c) \mid a,b,c \in U \ และ\ (a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a)\right\} $

ซึ่งที่เหลือก็ไม่ยากครับในการจะหา $\left|X\right| $ โดยคิดกรณีของ $a,b,c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วหักออกด้วยกรณีที่ $a\not= b \not= c$ ซึ่งเท่ากับ $10^3 - (10 \times 9 \times 8)=280$