True - False Marathon

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
กระทู้เงียบไปแล้ว ข้อที่เหลือถ้าไม่มีใครมาตอบผมจะเฉลยเร็วๆนี้ครับ

ถ้าหากคุณ nooonuii รอได้ก็ยังไม่จำเป็นต้องเฉลยครับ ถ้ามีโอกาสผมจะกลับมาทำต่อ (บางข้อผมยังไม่มีโอกาสได้อ่านโจทย์อย่างละเอียดด้วยซ้ำ) ส่วนข้อ 71. (ข้อเก่าที่สุดที่ยังไม่มีใครตอบ) เนี่ยถ้าผมจำไม่ผิด มันเป็น classic example ของฟังก์ชันที่ไม่เป็น real analytic function แต่ผมอยากมีเวลากลับไปทบทวนเรื่องนั้นๆเสียก่อน (ผมไม่แม่นตำรา ต้องเปิดหนังสือหรือสมุด lecture เพื่อจะตอบแทบทุกครั้ง) จึงยังไม่ตอบน่ะครับ (แต่ถ้าใครตอบได้ ตอบไปก่อนได้เลย) ถ้าผมยอมแพ้เมื่อไหร่จะขอให้ช่วยเฉลยให้นะครับ

โจทย์ที่นี่มีให้ทำเยอะมากๆ แล้วก็ยากมากๆด้วย ทำข้อนึงกินเวลาเป็นชั่วโมงเป็นเรื่องปกติ ยิ่งไปกว่านั้นคนที่เข้ามาเล่นก็น้อยมากๆ ดูอย่างข้อ 68. สิครับ ทั้งๆที่ใช้ความรู้แค่ ม.4 แล้วก็ไม่ได้พลิกแพลงอะไรเลย ก็ยังไม่มีใครมาตอบจนกระทั่งผมมาเก็บกวาด

พอดีตอนนี้ผมก็ไปมั่วอยู่กับกระทู้ Differential Equations Marathon เลยยังไม่ได้หันกลับมาเล่นกระทู้นี้เลย (จะว่าไปแล้วกระทู้นั้นร้างมานานกว่าอันนี้อีก) คุณ nooonuii แวะไปดูกระทู้นั้นบ้างก็ดีนะครับ

[nooonuii]

ผมว่าคงมีแต่ผู้เฒ่าอย่างพวกเรานี่แหละครับที่เล่นกันอยู่ ส่วนผู้เด็กเขาคงไม่ค่อยว่างกัน จริงๆแล้วโจทย์ในกระทู้นี้ผมไม่ได้เน้นให้ยากเลยครับ เน้นที่การเข้าใจแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มากกว่า คำถามบางข้อเป็นคำถามที่ไม่สามารถหาได้ในหนังสือทั่วไปเพราะมันไม่เป็นความจริง โจทย์หลายข้อที่นำมาถามก็สามารถคิดได้ภายในเวลาไม่นานนัก ผมชอบโจทย์ในลักษณะนี้มากเพราะมันช่วยเป็นฐานข้อมูลให้นำไปทำอะไรได้อีกเยอะเลยทีเดียวครับ

แต่ตอนนี้ผมไปติดกระทู้โจทย์ ประกายกุหลาบ อยู่ครับ ยากดีจริงๆ

[Mastermander]

88. False$$\sum \frac{n^3}{3^n} \in \rm{Q}$$

92. เห็นแล้วขอเดาว่าจริงก่อน เดี๋ยวจะมาคิดละเอียดภายหลัง

94. เป็นไปได้

[nongtum]

ทยอยตอบครับ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
88. $\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

91. ถ้า $3$ หาร $2a - 7b$ ลงตัว และ $4$ หาร $7a+2b$ ลงตัว แล้ว $5$ หาร $a^2+b^2$ ลงตัว

92. $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$

93. ถ้า $2z\le x+5y\le z$ และ $3z\le x+7y\le 11z$ แล้ว $x+3y+7z\ge0$

94. ในบรรดาสมาชิก Mathcenter ทั้งหมด(นับจนถึงปัจจุบัน) จะมีอย่างน้อย 20 คนที่ได้ฉลองวันคล้ายวันเกิดในวันเดียวกัน (ห้ามไปฉลองวันที่ไม่ได้เกิดนะครับ )

ข้อ 88 ใช่ครับ มันเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ผมอยากรู้วิธีคิดครับ ขอบคุณคุณ gon สำหรับวิธีทำครับ

ข้อ 91 ตัวอย่างค้าน เช่น เมื่อ $a=6,\ b=9$ จะได้ $3|(2\cdot6-7\cdot9),\ 4|(7\cdot6+2\cdot9)$ แต่ $5\not\vert(6^2+9^2)$

ข้อ 92 ให้ $x=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}$ จะได้ $x^3-3x\sqrt[3]{9-\sqrt[3]{9}}-6=0$
นิยาม $f(x)=x^3-3x\sqrt[3]{9-\sqrt[3]{9}}-6$ เพราะ $f(\sqrt[3]{3})<0$ และ $f(3\sqrt[3]{3})>0$
เพราะ $f'(x)>0$ เมื่อ $x$ มากกว่าคำตอบที่เป็นบวกของ $f'(x)=0$ ดังนั้น $f$ strictly increasing ในช่วงนี้
คำตอบของ $f(x)=0$ จึงอยู่ในช่วง $(\sqrt[3]{3},3\sqrt[3]{3})$
หมายเหตุ: คำตอบที่เหลือของ $f(x)=0$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน กราฟจึงตัดแกน $x$ ที่จุดเดียว

ข้อ 93 จากโจทย์จะได้ $z\le4x\le6z$ และ $z\le4y\le2z$ ดังนั้น $8z\le x+3y+7z\le12z$
หาก $z<0$ จะได้ $8z<12z\Rightarrow 8>12$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นข้อความโจทย์จึงเป็นจริง

ข้อ 94 ตาม Dirichlet's box principle หากตีว่าปีหนึ่งมี 365 วัน หากจะให้ชัวร์ว่ามีอย่างน้อย 20 คนมีวันคล้ายวันเกิดวันเดียวกัน จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อย $365\cdot19+1=6936$ คน ซึ่งถ้าดูจากยอดสมาชิกในหน้าหลักในขณะที่โพสต์คือ 6666 คน (เลขสวยนะ) เราก็บอกได้แค่ว่ามันเป็นไปได้เท่านั้นครับ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

89. ให้ $N$ เป็นจำนวนนับใดๆ จะได้ว่า $\displaystyle{ \sum_{m=-N}^{N} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{(m+ni)^2} =0 } $ เมื่อ $i=\sqrt{-1}$ และ ตัวดรรชนีไม่นับกรณีที่ $m=n=0$
92. $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$

89.Let consider
$\displaystyle{\frac{1}{(a+bi)^2}+\frac{1}{(b-ai)^2}=\frac{1}{(a^2-b^2)+2abi}+\frac{1}{(b^2-a^2)-2abi}=0}$
And$\displaystyle{ \sum_{m=-N}^{N} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{(m+ni)^2}}$is symmetry, so this one is true.
92.It obvious that
$\sqrt[3]{3}<\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}},\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}<2\sqrt[3]{3}$ and $\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{3}$
So $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$ is true.

[nongtum]

มาเล่นปัญหาเบาๆกันบ้างครับ

96. เราสามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าบนระนาบด้วยสันตรงและวงเวียนได้
(ใครจะตอบโปรดหาลิงค์วิธีสร้างและหรือทฤษฎีเพื่อยืนยันคำตอบด้วย)

97. ถ้า $1+2\sqrt{-5}$ เป็นตัวประกอบของ $4+\sqrt{-5}$ จะมีจำนวนเต็มเชิงซ้อนอีกตัว คือ $a+b\sqrt{-5},\ a,b\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $$4+\sqrt{-5}=(1+2\sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})$$
98. เราทราบกันดีว่าปัญหาเจ็ดสะพานเมือง Königsberg เป็นปัญหาที่ไม่มีคำตอบ กล่าวคือไม่มีวิธีเดินครบทุกสะพาน สะพานละครั้ง แต่หากเพิ่มหรือลดสะพานในระบบไปหนึ่งสะพาน (สะพานจากเกาะไปยังเกาะ ฝั่งไปหาฝั่งตรงข้าม หรือฝั่งไปหาเกาะ) ปัญหาหกหรือแปดสะพานนี้จะมีคำตอบ
(หากจะตอบข้อนี้ โปรดหาลิงค์หรือแสดงวิธีคิด)

99. บนระบบแกนพิกัดสามมิติ (3-dimensional euclidean space) เมื่อไม่พิจารณาขนาด จะมีทรงหลายเหลี่ยมนูนด้านเท่า (convex regular polyhedron เช่น ลูกบาศก์) อยู่ไม่จำกัดแบบ (โปรดหาลิงค์หรือทฤษฎีมายืนยันคำตอบ)

100. ในการแข่งฟุตบอลครั้งหนึ่ง จากจำนวนผู้เข้าชมในสนามทั้งหมด มีเด็กอายุไม่ต่ำกว่าสามขวบแต่ไม่เกินสิบขวบอยู่ 5000 คน โดยปราศจากข้อมูลทางสถิติอื่นๆ เราจะแน่ใจได้หรือไม่ว่าในบรรดาเด็กเหล่านี้ จะมีเด็กเพศเดียวกันอย่างน้อยสองคนที่เกิดในวันและปีเดียวกัน (กล่าวคือ อายุเท่ากัน)

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ทยอยตอบครับ
$\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ข้อ 88 ใช่ครับ มันเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ผมอยากรู้วิธีคิดครับ

สมมติให้ $a_n = \frac{n^3}{3^n} = \frac{An^3 + Bn^2 + Cn + D}{3^n} - \frac{A(n-1)^3 + B(n-1)^2 + C(n-1) + D}{3^{n-1}} = u_n - u_{n-1}$

จะได้ $A = -\frac{1}{2} , B = -\frac{9}{4}, C = -\frac{9}{2} , D = -\frac{33}{8}$

ดังนั้น $\displaystyle{s_ n = \sum_{i=3}^{n}a_i = u_n - u_2} = \frac{1}{3^n}(-\frac{1}{2}n^3 - \frac{9}{4}n^2 - \frac{9}{2}n - \frac{33}{8}) - \frac{1}{9}(-4-9-9-\frac{33}{8})$

นั่นคือ $s_\infty = \lim_{n \to \infty}s_n = \frac{209}{72}$

[Timestopper_STG]

ขุดครับขุด
101.ตามทฤษฎีแล้วเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น3ส่วนด้วยวงเวียน

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
101.ตามทฤษฎีแล้วเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น3ส่วนด้วยวงเวียน

ถ้าผมจะบอกว่ามันเป็นไปได้ หลายวิธี หากเพิ่มเงื่อนไขว่าสันตรงที่ใช้ขีดบอกความยาวได้ จะผิดตามจุดประสงค์คนออกโจทย์ที่อยากจะให้ตอบว่า มันสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันทำไม่ได้หากใช้สันตรง(ที่ไม่มีขีด)กับวงเวียนน่ะครับ

การพิสูจน์(ละรายละเอียด)ในพีชคณิตนามธรรมอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า $e^{i\varphi}$ เป็นจำนวนอดิศัย และ $e^{i\varphi/3}$ เป็นรากของ $x^3-t\in\mathbb{Q}[t][x]$
โดย Eisenstein จะได้ว่าพหุนามนี้ลดทอนไม่ได้ ทำให้ $\mathbb{Q}[e^{i\varphi/3}]:\mathbb{Q}[e^{i\varphi}]=3$ ในที่สุดก็จะสรุปได้ว่ามันแบ่งไม่ได้ครับ

หมายเหตุ: จากคำตอบข้อนี้ หากหาในสองลิงค์ที่ให้อีกหน่อยก็จะเจอคำตอบข้อ 96 ของผมครับ เพราะมันเป็นเรื่องเดียวกัน

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ขุดครับขุด
101.ตามทฤษฎีแล้วเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น3ส่วนด้วยวงเวียน

จริง เช่นมุม 90 องศา

---

102. $$ \int_0^1 \ln\ln x\,dx\in\mathbb{R} $$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:

96. เราสามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าบนระนาบด้วยสันตรงและวงเวียนได้
(ใครจะตอบโปรดหาลิงค์วิธีสร้างและหรือทฤษฎีเพื่อยืนยันคำตอบด้วย)

97. ถ้า $1+2\sqrt{-5}$ เป็นตัวประกอบของ $4+\sqrt{-5}$ จะมีจำนวนเต็มเชิงซ้อนอีกตัว คือ $a+b\sqrt{-5},\ a,b\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $$4+\sqrt{-5}=(1+2\sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})$$
98. เราทราบกันดีว่าปัญหาเจ็ดสะพานเมือง K&ouml;nigsberg เป็นปัญหาที่ไม่มีคำตอบ กล่าวคือไม่มีวิธีเดินครบทุกสะพาน สะพานละครั้ง แต่หากเพิ่มหรือลดสะพานในระบบไปหนึ่งสะพาน (สะพานจากเกาะไปยังเกาะ ฝั่งไปหาฝั่งตรงข้าม หรือฝั่งไปหาเกาะ) ปัญหาหกหรือแปดสะพานนี้จะมีคำตอบ
(หากจะตอบข้อนี้ โปรดหาลิงค์หรือแสดงวิธีคิด)

99. บนระบบแกนพิกัดสามมิติ (3-dimensional euclidean space) เมื่อไม่พิจารณาขนาด จะมีทรงหลายเหลี่ยมนูนด้านเท่า (convex regular polyhedron เช่น ลูกบาศก์) อยู่ไม่จำกัดแบบ (โปรดหาลิงค์หรือทฤษฎีมายืนยันคำตอบ)

96. จริงครับ เกาส์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่ารูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสามารถวาดโดยใช้วงเวียนและสันตรงได้ ตอนที่เกาส์เสนอผลงานชิ้นนี้ นักคณิตศาสตร์ต่างทึ่งและตกตะลึงไปตามๆกัน เกาส์ภูมิใจกับผลงานชิ้นนี้ของเขามากถึงกับเอ่ยปากให้นำผลงานชิ้นนี้ไปสลักไว้ที่หลุมฝังศพของเขาเมื่อเขาเสียชีวิตไปแล้ว แต่ผมไม่แน่ใจว่ามีการสลักไว้จริงๆรึเปล่าครับ นี่คือผลงานที่น่าทึ่งอีกอันหนึ่งของหนึ่งในสามนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ตลอดกาล และนักคณิตศาสตร์ผู้ได้รับการขนานนามว่าเป็น Prince of Mathematicians ครับ

ลองดู วิธีการสร้างจากที่นี่ครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

97. จริง เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าสมการ $$4+\sqrt{-5}=(1+2\sqrt{-5})(a+b\sqrt{-5})$$
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม $a,b$ ดังนั้นประพจน์ "$1+2\sqrt{-5}$ เป็นตัวประกอบของ $4+\sqrt{-5}$" มีค่าความจริงเป็นเท็จ และเนื่องจาก ประพจน์ในรูป $P\to Q$ จะเป็นจริงเสมอถ้า $P$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อความนี้จึงเป็นจริงครับ

98. ยังไม่ได้คิดแบบละเอียดครับ แต่คิดว่าน่าจะจริง ผมสันนิษฐานจากทฤษฎีที่ว่า เราจะสามารถเดินโดยผ่านเส้นในกราฟเพียงครั้งเดียวได้ ก็ต่อเมื่อ แต่ละจุดมีจำนวนเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด (แบบนี้จะสามารถเดินจากจุดใดๆแล้วกลับมาที่เดิมได้) หรือ มีจุดเพียงสองจุดเท่านั้นที่มีจำนวนเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคี่ (แบบนี้จะต้องเริ่มเดินจากจุดที่มีเส้นเชื่อมเป็นจำนวนคี่เสมอและจะไปจบการเดินที่จุดที่มีเส้นเชื่อมเป็นเลขคี่อีกจุดหนึ่ง)

99. เท็จ ถ้าผมเข้าใจปัญหาไม่ผิด จะมีอยู่เพียงห้าแบบเท่านั้นครับ เราเรียก polyhedron แบบนี้ว่า Platonic Solid ลองดูรูปของพวกเขาทั้งหมดจาก link นี้ครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

ถ้าเราไม่จำกัดหน้าว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดเดียวกันจะมีเพิ่มอีกเยอะเลยครับ ตัวอย่างที่น่าสนใจเช่น Bucky Ball แบบจำลองทางเรขาคณิตของ Buckminster Fullerene ($C_{60}$) ซึ่งเป็นอัญรูปหนึ่งของธาตุคาร์บอน หรือ ใครที่ชอบเล่นฟุตบอล ลองไปนั่งนับดูครับว่าลูกฟุตบอลที่เราเตะกันอยู่ทุกวันประกอบไปด้วยรูปหลายเลี่ยมชนิดใดบ้าง

แก้แล้วครับ ขอบคุณคุณ Warut ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
96. จริงครับ เกาส์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่ารูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสามารถวาดโดยใช้วงเวียนและสันตรงได้ ตอนที่เกาส์เสนอผลงานชิ้นนี้ นักคณิตศาสตร์ต่างทึ่งและตกตะลึงไปตามๆกัน เกาส์ภูมิใจกับผลงานชิ้นนี้ของเขามากถึงกับเอ่ยปากให้นำผลงานชิ้นนี้ไปสลักไว้ที่หลุมฝังศพของเขาเมื่อเขาเสียชีวิตไปแล้ว แต่ผมไม่แน่ใจว่ามีการสลักไว้จริงๆรึเปล่าครับ นี่คือผลงานที่น่าทึ่งอีกอันหนึ่งของหนึ่งในสามนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ตลอดกาล และนักคณิตศาสตร์ผู้ได้รับการขนานนามว่าเป็น Prince of Mathematicians ครับ

ลองดู วิธีการสร้างจากที่นี่ครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

เท่าที่ผมทราบ ไม่มีการแกะสลักเกิดขึ้นจริงนะครับ เหตุผลคือ เมื่อแกะสลักรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าแล้ว ผลออกมามันจะเหมือนกับวงกลม

Gauss ภูมิใจกับผลงานนี้มาก เพราะเขาค้นพบตั้งแต่อายุยังไม่ถึง 20 ปี และเป็นการแก้ปัญหาอายุกว่า 2,000 ปี ว่า regular polygon ใดบ้างที่สามารถสร้างได้โดย Euclidean construction ณ ปัจจุบันนี้ ยังเหลืออีกคำถามเดียวที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ ที่ยังไม่มีใครตอบได้ คือ Fermat primes ทั้งหมดคือจำนวนใดบ้าง

ถ้าผมจำไม่ผิด หนังสือเล่มยักษ์ที่บันทึกวิธีสร้าง regular 65,537-gon มีเก็บอยู่ที่มหาลัย G&ouml;ttingen ด้วยครับ

ทั้งหมดนี้ผมเขียนจากความทรงจำ (ขี้เกียจค้น ) อาจผิดได้ โปรดเช็คกับแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ประกอบด้วยนะครับ

ป.ล. ผมเคยพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ไปบ้างแล้ว ที่นี่ ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ถ้าเราไม่จำกัดหน้าว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดเดียวกันจะมีเพิ่มอีกเยอะเลยครับ ตัวอย่างที่น่าสนใจเช่น Bucky Ball แบบจำลองทางเรขาคณิตของ Buckminster Fullerene ($C_{60}$) ซึ่งเป็นไอโซโทปอีกอันหนึ่งของธาตุคาร์บอน หรือ ใครที่ชอบเล่นฟุตบอล ลองไปนั่งนับดูครับว่าลูกฟุตบอลที่เราเตะกันอยู่ทุกวันประกอบไปด้วยรูปหลายเลี่ยมชนิดใดบ้าง

fullerene เป็นอัญรูป (allotrope) หนึ่งของคาร์บอนครับ

[Timestopper_STG]

สำหรับข้อ101นั้นโดยส่วนตัวผมคิดว่าได้นะครับแต่ไม่รู้ว่าท่านอื่นเห็นว่าอย่างไร
เนื่องจากเราแบ่งมุมออกเป็น2ส่วนเท่ากันได้แล้วและ$\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-...}$
จากข้างบนทำให้ผมสรุปออกมาเป็นทฤษฎีบทได้บทนึงหน่ะครับ ซึ่งกล่าวว่า

ทฤษฎีบท
สำหรับมุมใดๆที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาจะสามารถแบ่งออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ
ด้วยวงเวียนและสันตรงเมื่อ n เป็นจำนวนนับใด ๆ

พิสูจน์
ให้ $p_1,p_2,...,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 1 ถึง n ตามลำดับดังนั้น $p_1=2,p_2=3,...$
เนื่องจาก $p_k\pm1$ เป็นจำนวนประกอบที่สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของ $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ ได้
เมื่อ $2\leq k\leq n$ และ$\displaystyle{\frac{1}{p_k}=\frac{1}{p_k\pm1}\pm\frac{1}{(p_k\pm1)^2}+\frac{1}{(p_k\pm1)^3}\pm...}$
แต่เนื่องจากเราสามารถแบ่งมุมออกเป็น $p_1=2$ ส่วนที่เท่ากันได้อยู่แล้ว
ทำให้เราสามารถแบ่งมุมออกเป็น p ส่วนได้เสมอเมื่อ p คือจำนวนเฉพาะใด ๆ
แต่เราทราบว่าสำหรับจำนวนประกอบใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
$\therefore$ เราสามารถแบ่งมุมที่มีขนาดอยู่ระหว่าง 0 กับ 180 องศาออกเป็น n ส่วนที่เท่ากันได้เสมอ $Q.E.D.$

[nongtum]

ปัญหามันเกิดเมื่อ $k=1$ เพราะ $p_1-1=1$ เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะไม่ได้ และผลรวมด้านล่างจะเป็น $0.5=1-1+1-1+\dots$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

แต่ผมไม่ขัดแนวคิดการ "ประมาณค่า" การแบ่งมุมเป็นสามส่วนที่บอกมาด้านบนนะ