ช่วยอธิบายพหุนามพาลินโดรมหน่อยคับ

[jabza]

แล้วถ้าโจทย์ $x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาราก ทำอย่างไง ครับ


แล้วมันใช่พาลินโดรมรึเปล่าครับ


แล้ว ใช้ทฤษฎีรากที่ n คืออย่างไงครับ

[[SIL]]

ยังไม่ได้อ่านทฤษฎีนั้นเลยครับ แต่ถ้าอยากได้รากของพหุนามนั้นแนะนำให้จัดเอกลักษณ์อยู่ในรูป $x+\frac{1}{x}$ ครับ

[Ne[S]zA]

งั้นก็หารด้วย $x^2$ สิครับ

[Platootod]

คือ.........เอ่อ...ไม่อยากจะขัดจังหวะนะคับแต่ทฤษฏีที่ผมขอถูกลืมแล้วหรือคับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

แล้วถ้าโจทย์ $x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาราก ทำอย่างไง ครับ


แล้วมันใช่พาลินโดรมรึเปล่าครับ


แล้ว ใช้ทฤษฎีรากที่ n คืออย่างไงครับ

ก็หารากที่ 5 ของ 1 ครับ แล้วตัด 1 ออก

จะได้เป็น

$x=\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4 เมื่อ \omega=cos\frac{2\pi}{5}+isin\frac{2\pi}{5}$

ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ต้องการทฤษฏีพหุนามทีสามารถดูว่าพหุนามตัวไหนเป็นพาลินโดรมอ่ะคับ
แล้วช่วยยกตัวอย่างในการใช้พหุนามนี้ในการแก้โจทย์

ผมรู้จักพหุนามนี้ในอีกชื่อหนึ่งคือ พหุนามส่วนกลับ(reciprocal polynomial)

วิธีตรวจสอบว่าพหุนามไหนเป็นพหุนามส่วนกลับรึเปล่าให้นำสัมประสิทธิ์ของพหุนามมา้เขียนเรียงกันแล้วลองกลับข้างของลำดับถ้าได้เท่าลำดับ เดิมก็จะเป็นพหุนามส่วนกลับ

นั่นคือถ้าพหุนามอยู่ในรูป

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

เราก็ดูที่ลำดับของ ส.ป.ส. จะได้เป็น

$(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0)$

จากนั้นก็กลับลำดับให้เป็น

$(a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n)$

ถ้า $(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0)=(a_0,a_1,...,a_{n-1},a_n)$

เราจะกล่าวว่า $P(x)$ เป็น พหุนามส่วนกลับ หรือ palindromic polynomial

เหตุผลที่เราเรียกว่า palindromic polynomial ก็เพราะว่า ลำดับของส.ป.ส. ของพหุนามนี้จะมีคุณสมบัติเหมือนจำนวน palindrome นั่นเองครับ

ตัวอย่าง

1. $x^4+2x^3+2x+1$

เขียนลำดับของ ส.ป.ส. ได้เป็น

$(1,2,0,2,1)$ กลับกันก็ยังได้ $(1,2,0,2,1)$

ดังนั้นพหุนามนี้เป็น palindromic polynomial

2. $x^4-x^2-x+1$

เขียนลำดับของ ส.ป.ส. ได้เป็น

$(1,0,-1,-1,1)$ กลับกันได้ $(1,-1,-1,0,1)$ ซึ่งไม่เหมือนกัน

ดังนั้นพหุนามนี้ไม่เป็น palindromic polynomial

ถ้าใครมีหนังสือ พีชคณิต ของ สอวน. ลองดูในบทที่สองครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

แล้วถ้าโจทย์ $x^4+x^3+x^2+x+1$ จงหาราก ทำอย่างไง ครับ


แล้วมันใช่พาลินโดรมรึเปล่าครับ


แล้ว ใช้ทฤษฎีรากที่ n คืออย่างไงครับ

เป็น palindromic polynomial ครับ

วิธีคิดคือ จัดรูปให้อยู่ในรูปพหุนามของตัวแปร $x+\dfrac{1}{x}$ โดยการหารด้วยเทอมที่อยู่ตรงกลางที่สุด คือ $x^2$

ให้ $y=x+\dfrac{1}{x}$

จะได้ $y^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

จากสมการ $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ หารด้วย $x^2$ จะได้

$x^2+x+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$

$(y^2-2)+y+1=0$

$y^2+y-1=0$

$y=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

แก้สมการกำลังสองในตัวแปร $x$ ก็จะได้คำตอบออกมาทั้งหมดครับ

วิธีนี้จะได้คำตอบออกมาเป็นจำนวนติดเครื่องหมายราก

แต่ถ้าใช้จำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณจะได้ออกมาอีกแบบหนึ่ง

เราจึงใช้วิธีนี้หาค่าที่แท้จริงของ $\sin\dfrac{2\pi}{5}$

รวมทั้งฟังก์ชันตรีโกณอื่นๆที่เกี่ยวกับมุมนี้ได้อีกด้วย