รบกวนพิสูจน์สูตรนี้หน่อยครับ

[Yo WMU]

อยากทราบวิธีพิสูจน์สูตรนี้ครับ

$ \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...} } } } = \frac{1+\sqrt{4a-3} }{2} $

ฝากท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ

[Amankris]

แก้สมการธรรมดาเลยนี่ครับ

[Yo WMU]

จะรบกวนช่วยแสดงวิธีแก้สมการให้ดูได้ไหมครับ ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yo WMU

อยากทราบวิธีพิสูจน์สูตรนี้ครับ

$ \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...} } } } = \frac{1+\sqrt{4a-3} }{2} $

ฝากท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ

ให้ $x = \sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-...} } } }$

จะเห็นว่า $x = \sqrt{a+\sqrt{a-x}}$

ยกกำลังสอง $x^2 - a = \sqrt{a-x}$ แสดงว่า $x^2 - a \ge 0 ... (*)$

ให้ $y = \sqrt{a-x}$ จะได้

$x^2 = a + y ... (1)$ และ

$y^2 = a - x ... (2)$

(1)-(2) , $(x-y)(x+y) = (y+x)$

$(x+y)(x-y-1) = 0$

$x+y = 0$ เป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $y = x-1$ เท่านั้น แทนลงใน (1) จะได้

$x^2 -x + 1-a = 0 ... (**)$ แล้ว $x = \frac{1 \pm \sqrt{4a-3}}{2}$

แต่จาก (*) $x^2 - a \ge 0$ ดังนั้นจาก (**)

$x^2 - a = x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

เห็นได้ชัดว่า $x = \frac{1 - \sqrt{4a-3}}{2} < 1$

ดังนั้น $x = \frac{1 + \sqrt{4a-3}}{2}$ เท่านั้น

[Amankris]

สูตรนี้ต้องมีเงื่อนไขค่า $a$ ด้วยรึเปล่า

[Mr.Com]

ก่อนจะกำหนดให้นิพจน์ทางซ้ายของสมการเท่ากับ $x$
ต้องแสดงการลู่เข้าหรือไม่?